Kezdőlap


Feladat:	465. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Devecis M. , Friedmann Bernát , Kertész L. , Kornis Ö. , Roth M. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K.
Füzet:	1898/június, 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sokszögek súlypontjának koordinátái, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Pont körüli forgatás, Másodfokú függvények, Függvényvizsgálat, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/január: 465. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás $1^{\circ}$ . Válasszuk az $e$ egyenest az abscissák tengelyéül; a reá merőlegesen álló ordináta tengely tetszőleges. A megadott háromszög csúcsainak coordinátái rendre: $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ . A keresett $X$ pont coordinátái $(x,0)$ . A megadott

\begin{matrix} {\bar{X A}}^{2} + {\bar{X B}}^{2} + {\bar{X C}}^{2} így írható fel : \end{matrix}

\begin{matrix} f (x) = {(x - x_{1})}^{2} + y_{1}^{2} + {(x - x_{2})}^{2} + y_{2}^{2} + {(x - x_{3})}^{2} + y_{3}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 x^{2} - 2 (x_{1} + x_{2} + x_{3}) x + C, \end{matrix}

hol

C

az ismert értékekből összetett állandó. Az

f (x)

másodfokú függvény akkor veszi fel minimális értékét, ha

\begin{matrix} x = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}; \end{matrix}

ez a keresett pont abscissája; minthogy pedig a háromszög súlypontjának

(S)

abscissája ugyanaz, azért a keresett

X

pont, a súlypontból az

e

egyenesre bocsátott merőleges talppontja.

2^{\circ}

. A

S X P

szög az

e

egyenes minden helyzeténél derékszög; minthogy pedig az

S P

távolság állandó, azért az

X

pont mértani helye az

S P

mint átmérő fölé rajzolt kör.

(Friedmann Bernát.)

II. Megoldás Legyen

X'

e

egyenesnek egy tetszés szerinti pontja; akkor:

\begin{matrix} {\bar{A X'}}^{2} + {\bar{B X'}}^{2} + {\bar{C X'}}^{2} = {\bar{S A}}^{2} + {\bar{S B}}^{2} + {\bar{S C}}^{2} + 3 {\bar{S X'}}^{2} \end{matrix}

A kérdéses kifejezés akkor minimum, ha

S X'

minimum.
A keresett

X

pontot tehát megkapjuk, ha

S

-ből

e

-re merőlegest bocsátunk.

A feladatot még megoldották: Devecis M., Kertész L., Kornis Ö., Roth M., Sasvári G., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K.