Kezdőlap


Feladat:	462. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Brandt Dezső
Füzet:	1898/április, 163 - 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Beírt alakzatok, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/január: 462. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az egymásután következő sokszögek területei: $t_{1}, t_{2}, t_{3}, ...;$ összegük $T$ . Jelöljük az első sokszög egyik oldalát $A B$ -vel, ezen oldal középpontját $D$ -vel, a kör középpontját $O$ -val. Az első sokszög területe:

\begin{matrix} t_{1} = n R^{2} sin α cos α \end{matrix}

α = \frac{180^{\circ}}{n}

.
Minthogy

A D O

háromszögből:

\begin{matrix} D O = R cos α, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} t_{2} = n R^{2} sin α cos^{3} α \end{matrix}

\begin{matrix} t_{3} = n R^{2} sin α cos^{5} α s. í. t. \end{matrix}

Látjuk, hogy az egyes sokszögek területei oly végtelen mértani haladvány tagjai, melynek első tagja

\begin{matrix} a_{1} = n R^{2} sin α cos α \end{matrix}

s melynek hányadosa

\begin{matrix} q = cos^{2} α . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} T_{s} = \frac{n R^{2} sin α cos α}{1 - cos^{2} α} = \frac{n R^{2} sin α cos α}{sin^{2} α} \end{matrix}

\begin{matrix} = n R^{2} ctg α . \end{matrix}

Könnyen kimutatható, hogy e kifejezés csakugyan oly szabályos

n

-szög területe, melynek mindegyik oldala

2 R

(Brandt Dezső.)

Megoldások száma: 45.