Feladat:	461. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Devecis Mihály
Füzet:	1898/március, 132 - 133. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, A komplex szám algebrai alakja, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/január: 461. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle xy\left(x+y\right)=30}\end{array}$ (1) $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+y^3=35.}\end{array}$ (2) I. Megoldás. (1)-et köbre emelve: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3{y}^3\left[x^3+3\left(x^{2}y+y^{2}x\right)+y^3\right]=27000}\end{array}$ (1)-et és (2)-t tekintetbe véve. $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3\left(35-x^3\right)=\frac{27000}{125}}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle x^6-35x^3+216=0}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\sqrt[3]{\mathrm{17,5}\pm \mathrm{9,5}}}\end{array}$ $x$-nek értékei: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{3,}\mathrm{2,}3\alpha \mathrm{,}3\beta \mathrm{,}2\alpha \mathrm{,}2\beta ;}\end{array}$ $y$-nak megfelelő értékei: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{2,}\mathrm{3,}2\alpha \mathrm{,}2\beta \mathrm{,}3\alpha \mathrm{,}3\beta \mathrm{,}}\end{array}$ hol $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =\frac{-1+i\sqrt[]{3}}{2}\text{és}\beta =\frac{-1-i\sqrt[]{3}}{2}\mathrm{.}}\end{array}$   (Devecis Mihály.)   II. Megoldás. Ha (1)-et $3$-mal megszorozzuk és (2)-höz adjuk, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+y\right)}^3=\mathrm{125,}}\end{array}$ miből, csak a valós értékeket tekintve: $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y=5}\end{array}$ (3) (3)-at (1)-be téve: $\begin{array}{c}{\displaystyle xy=\mathrm{6,}}\end{array}$ mely két egyenletből kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=y_2=2\text{és}{x}_2=y_1=3.}\end{array}$   Megoldások száma: 88.