Kezdőlap


Feladat:	460. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baumgarten Sz. , Bella I. , Bojedain F. , Détshy K. , Devecis Mihály , Erdős A. , Fekete J. , Freibauer E. , Groffits G. , Kertész L. , Koós A. , Laczkó E. , Lövi I. , Magyar S. , Makk I. , Manheim E. , Perl Gy. , Posgay B. , Prohaszka J. , Raab L. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K. , Weisz H. , Weisz J.
Füzet:	1898/március, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Számtani sorozat, Paraméteres egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/január: 460. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott egyenletek gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = + \sqrt[]{\frac{3 m + 2 + \sqrt[]{5 m^{2} + 12 m + 4}}{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} = + \sqrt[]{\frac{3 m + 2 - \sqrt[]{5 m^{2} + 12 m + 4}}{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{3} = - \sqrt[]{\frac{3 m + 2 + \sqrt[]{5 m^{2} + 12 m + 4}}{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{4} = - \sqrt[]{\frac{3 m + 2 - \sqrt[]{5 m^{2} + 12 m + 4}}{2}} \end{matrix}

Ha e gyököket nagyság szerint rendezzük, úgy:

\begin{matrix} x_{1} > x_{2} > x_{4} > x_{3} . \end{matrix}

A számtani haladvány egymásután következő tagjai tehát:

\begin{matrix} x_{1}, x_{2}, x_{4}, x_{3} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x_{1} - x_{2} = x_{2} - x_{4} \end{matrix}

s miután

\begin{matrix} x_{4} = - x_{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} x_{1} = 3 x_{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x_{1}^{2} = 9 x_{2}^{2} . \end{matrix}

Ezen egyenletbe a megadott egyenlet gyökeit helyettesítve

\begin{matrix} 5 \sqrt[]{5 m^{2} + 12 m + 4} = 12 m + 8 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 19 m^{2} - 108 m - 36 = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} m_{1} = 6, m_{2} = - \frac{6}{19} . \end{matrix}

Ezen értékeket helyettesítve, a haladványok:

\begin{matrix} 3 \sqrt[]{2}, \sqrt[]{2}, - \sqrt[]{2}, - 3 \sqrt[]{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} 3 \sqrt[]{\frac{2}{19}}, \sqrt[]{\frac{2}{19}}, - \sqrt[]{\frac{2}{19}}, - 3 \sqrt[]{\frac{2}{19}} . \end{matrix}

(Devecis Mihály.)

A feladatot még megoldották: Baumgarten Sz., Bella I., Bojedain F., Détshy K., Erdős A., Fekete J., Freibauer E., Groffits G., Kertész L., Koós A., Laczkó E., Lövi I., Magyar S., Makk I., Manheim E., Perl Gy., Posgay B., Prohászka J., Raab L., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Weisz H., Weisz J.