Kezdőlap


Feladat:	459. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kolos Henrik
Füzet:	1898/április, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Terület, felszín, Térfogat, Gömb és részei, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/december: 459. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A sugárnak a középpont felé eső része

\begin{matrix} x = \frac{r}{2} (\sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

Jelöljük

ρ

-val a gömbszelet alapkörének sugarát, úgy Pythagoras tétele alapján

\begin{matrix} ρ = \frac{r}{\sqrt[]{2}} \sqrt[]{\sqrt[]{5} - 1} . \end{matrix}

ρ

sugarú körbe írt négyzet alapja pyramisunknak; ennek oldala

\begin{matrix} a = ρ \sqrt[]{2} = r \sqrt[]{\sqrt[]{5} - 1} . \end{matrix}

A pyramis oldallapjának magassága

\begin{matrix} m = \sqrt[]{{(r + x)}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{r}{2} \sqrt[]{3 \sqrt[]{5} + 5} . \end{matrix}

A pyramis felszíne tehát

\begin{matrix} F = a^{2} + 4 a \cdot \frac{m}{2} = r^{2} (\sqrt[]{2 \sqrt[]{5} + 10} + \sqrt[]{5} - 1) . \end{matrix}

Köbtartalma

\begin{matrix} V = \frac{a^{2}}{3} (r + x) = \frac{2}{3} r^{3} . \end{matrix}

A hajlásszög tangense:

\begin{matrix} tg α = \frac{r + x}{\frac{a}{2}} = \frac{\sqrt[]{5} + 1}{\sqrt[]{\sqrt[]{5} - 1}} = \frac{1}{2} {(\sqrt[]{\sqrt[]{5} + 1})}^{3} . \end{matrix}

(Kolos Henrik.)

Megoldások száma: 24.