Kezdőlap


Feladat:	455. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó István
Füzet:	1898/április, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szinusztétel alkalmazása, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfelező egyenes, Súlyvonal, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/december: 455. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $B C$ oldal középpontja legyen $D$ , a kérdéses szög $x$ . Akkor:

\begin{matrix} \frac{a}{2} : b = sin (\frac{α}{2} + x) : sin C D A \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{a}{2} : c = sin (\frac{α}{2} - x) : sin C D A, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{b}{c} = \frac{sin (\frac{α}{2} - x)}{sin (\frac{α}{2} + x)}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{b}{c} = \frac{sin \frac{α}{2} cos x - cos \frac{α}{2} sin x}{sin \frac{α}{2} cos x + cos \frac{α}{2} sin x} = \frac{1 - ctg \frac{α}{2} tg x}{1 + ctg \frac{α}{2} tg x} \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} tg x = \frac{c - b}{(b + c) ctg \frac{α}{2}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} tg x = \frac{(c - b) \sqrt[]{(s - b) (s - c)}}{(c + b) \sqrt[]{s (s - a)}} \end{matrix}

b + c, b + c + a, \frac{b + c}{2} - \frac{a}{2}

állandók, tehát e tört nevezője állandó: hogy

tg x

és így

x

a lehető legnagyobb legyen, kell, hogy a számláló maximum legyen, azaz e függvény:

\begin{matrix} {(c - b)}^{2} \frac{a + c - b}{2} \times \frac{a + b - c}{2} = y^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(c - b)}^{2} a^{2} - {(c - b)}^{4} = 4 y^{2} . \end{matrix}

Maximum áll be, ha

\begin{matrix} c - b = \frac{a}{2} \sqrt[]{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} c + b = c + b \end{matrix}

s így

\begin{matrix} c = \frac{a \sqrt[]{2} + 2 (b + c)}{4}; \end{matrix}

(Szabó István.)