Kezdőlap


Feladat:	454. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dénes A. , Kertész Lajos , Kornis Ö. , Roth M. , Szabó I. , Szabó K.
Füzet:	1898/április, 160 - 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Térfogat, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/december: 454. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a kúp magassága $h$ , alkotója $l$ , alapjának sugara $r$ , a feladat értelmében

\begin{matrix} π r (r + l) = π m^{2} \end{matrix}

(1)

és

\begin{matrix} \frac{π}{3} r^{2} h = \frac{π}{3} a^{3} . \end{matrix}

(2)

E két egyenletből, miután

l = \sqrt[]{h^{2} + r^{2}}

kifejezést helyettesítjük, nyerjük:

\begin{matrix} r = \frac{1}{2} \sqrt[]{\frac{m^{3} \pm \sqrt[]{m^{6} - 8 a^{6}}}{m}}, \end{matrix}

\begin{matrix} h = \frac{m (m^{3} \mp \sqrt[]{m^{6} - 8 a^{6}}}{2 a^{3}} . \end{matrix}

Hogy

r

és

h

valós legyen, kell hogy álljon:

\begin{matrix} m^{6} - 8 a^{6} ≧ 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{m}{a} ≧ \sqrt[]{2} . \end{matrix}

És ez egyszersmind megadja a feleletet a második és harmadik kérdésre. Ha a térfogat állandó, s vele

a

is az, a minimális érték, melyet

m

felvehet,

m = a \sqrt[]{2}

. Ekkor tehát a fölület minimum. Viszont állandó felület esetén a maximális térfogat

a = \frac{m}{\sqrt[]{2}}

értéke mellett áll be.
Ez utóbbi esetben az alkotó és tengely képezte

α

szögre vonatkozólag

\begin{matrix} tg α = \frac{r}{h} = \frac{\frac{a}{2} \sqrt[]{2}}{2 a} = \frac{1}{4} \sqrt[]{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} α = 19^{\circ} 28' 15'' . \end{matrix}

(Kertész Lajos.)

A feladatot még megoldották. Dénes A., Kornis Ö., Roth M., Szabó I., Szabó K.