Kezdőlap


Feladat:	446. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann B. , Kertész L. , Kornis Ö. , Riesz Frigyes , Roth M. , Sasvári G. , Szabó K.
Füzet:	1898/március, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Köréírt háromszög, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/december: 446. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a beírt kör sugara $r$ , a körülírté $R$ ; a körülírt kör középpontja $P$ .
Minthogy

\begin{matrix} O A = \frac{r}{sin \frac{A}{2}}, O B = \frac{r}{sin \frac{B}{2}}, és O C = \frac{r}{sin \frac{C}{2}}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} p^{3} = O A \cdot O B \cdot O C = \frac{r^{3}}{sin \frac{A}{2} sin \frac{B}{2} sin \frac{C}{2}} = \frac{r^{3}}{\frac{r}{4 R}} = 4 R r^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} R = \frac{p^{3}}{4 r^{2}} . \end{matrix}

A két kör középpontjának távolsága

\begin{matrix} O P = \sqrt[]{R^{2} - 2 R r} = \frac{p}{4 r^{2}} \sqrt[]{p (p^{3} - 8 r^{3})}; \end{matrix}

O P

tehát állandó és így

P

pont mértani helye

O

középpontú és

\begin{matrix} O P = \frac{p}{4 r^{2}} \sqrt[]{p (p^{3} - 8 r^{3})} \end{matrix}

sugarú kör.

A feladat megoldható, ha

p ≧ 2 r

; ha

p = 2 r

, és

O

és

P

összeesnek. Kitűnik egyszersmind, hogy a feladat, két concentrikus kör egyike körül s a másikba háromszöget írni, csak azon esetben oldható meg, ha az utóbbi sugara az előbbiének kétszerese.

A B C

háromszög ekkor szabályos.

(Riesz Frigyes.)

A feladatot még megoldották: Friedmann B., Kertész L., Kornis Ö., Roth M., Sasvári G., Szabó K.