Kezdőlap


Feladat:	445. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Détshy K. , Devecis Mihály , Kertész L. , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Roth M. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K.
Füzet:	1898/március, 144 - 145. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Körülírt kör, Trapézok, Háromszögek egybevágósága, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/december: 445. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Vigyük fel $k$ -t a derékszög $O X$ és $O Y$ száraira s jelöljük az így kapott pontokat $L$ és $N$ betűkkel. $M$ pont mértani helye az $L O N$ derékszögű háromszög köré írható, $O_{1}$ középpontú félkör.

Bizonyítás.

A L O_{1} ∢ = O_{1} O B ∢ = 45^{\circ}

O_{1} O = O_{1} L, A L = O B

, (mert

A O + A L = A O + O B)

s így

L A O_{1} ▵ ≅ B O O_{1} ▵

, tehát

A O_{1} = B O_{1}

. Az

A B O M

trapéz egyenlőszárú (mert

O M ∥ A B)

s így

A M = O B, M A B ∢ = A B O ∢

. De

O_{1} A B ∢ = A B O_{1} ∢

, tehát

M A O_{1} ∢ = O B O_{1} ∢

, tehát

M A O_{1} ∢ = O B O_{1} ∢

. Ennélfogva

A O_{1} M ▵ ≅ O B O_{1} ▵

s így

M O_{1} = O O_{1}

. Látjuk tehát, hogy bármely helyzetbe kerüljön is

M

, az

O_{1}

-től való távolsága mindig egyenlő

O O_{1}

-gyel.

M

pont mértani helye tehát az

O O_{1} = \frac{k}{2} \sqrt[]{2}

sugárral leírt félkör.

(Devecis Mihály.)

II. Megoldás. Legyen

O B = p

; az

A O B

háromszög köré írható kör

O_{2}

középpontjának coordinátái:

x_{1} = \frac{p}{2}, y_{1} = \frac{k - p}{2}

. E kör egyenlete tehát:

\begin{matrix} {(x - \frac{p}{2})}^{2} + {(y - \frac{k - p}{2})}^{2} = \frac{p^{2}}{4} + {(\frac{k - p}{2})}^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - p x - (k - p) y = 0 \end{matrix}

(1)

A B

egyenes egyenlete:

\begin{matrix} \frac{x}{p} + \frac{y}{k - p} = 1 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y = \frac{p - k}{p} x + 1 \end{matrix}

tehát a coordinátarendszer kezdőpontján átmenő s

A B

-vel párhuzamos

O M

egyenes egyenlete:

\begin{matrix} y = \frac{p - k}{p} x; \end{matrix}

ezen egyenletből

\begin{matrix} p = \frac{k x}{x - y} \end{matrix}

(2)

(2)-t (1)-be téve:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - \frac{k x^{2}}{x - y} - (k - \frac{k x}{x - y}) y = 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} - k x - k y = 0 \end{matrix}

vagy végre

\begin{matrix} {(x - \frac{k}{2})}^{2} + {(y - \frac{k}{2})}^{2} = \frac{k^{2}}{2} . \end{matrix}

Látjuk, hogy az

M

pont mértani helye oly kör, melynek sugara

\frac{k}{2} \sqrt[]{2}

, s mely az

O

ponton megy át. Középpontjának koordinátái

\frac{k}{2}

és

\frac{k}{2}

. A tengelyeket

L

és

N

pontokban metszi, mely pontok coordinátái

k

és

k

A feladatot még megoldották: Détshy K., Kertész L., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Roth M., Sasvári G., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K.