Kezdőlap


Feladat:	443. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dénes A. , Détshy K. , Erdős A. , Fekete J. , Freibauer E. , Goldziher K. , Kertész L. , Koós A. , Kornis Ö. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Manheim E. , Perl Gy. , Raab L. , Raab M. , Roth M. , Sasvári G. , Schiffer H. , Szabó I. , Szabó Károly , Weisz Á. , Weisz J.
Füzet:	1898/március, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Mértani sorozat, Háromszögek szerkesztése, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/december: 443. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. $A B C$ háromszög oldalainak középpontjai $A', B', C'$ . Hosszabbítsuk meg $C' B'$ -t $D$ -ig, úgy hogy $B' D = B' C'$ legyen.

Minthogy

B' D

egyenlő és párhuzamos

B A'

-val, azért

A' D = B B'

. De

C D

egyenlő és párhuzamos

A C'

-vel, s így

A D = C C'

A D A'

tehát az eredeti háromszög középvonalaiból szerkesztett háromszög. Számítsuk ki e háromszög

t'

területét:

\begin{matrix} t' = A A' B' ▵ + A B' D ▵ + D B' A' ▵ \end{matrix}

\begin{matrix} A A' B' ▵ = A B' C' ▵ = \frac{1}{4} A B C ▵ = \frac{1}{4} t \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} A B' D ▵ = \frac{1}{4} t \end{matrix}

s így

\begin{matrix} t' = \frac{3}{4} t . \end{matrix}

Hasonlóképp kapjuk, hogy a

t'

területű háromszög középvonalaiból szerkesztett háromszög területe

t'' = \frac{3}{4} t' = {(\frac{3}{4})}^{2} t

, stb
Így tehát a háromszögek területei egy végtelen mértani haladványt alkotnak, melynek első tagja

t

, hányadosa

\frac{3}{4}

, s így a sor összege:

\begin{matrix} S = \frac{t}{1 - \frac{3}{4}} = 4 t . \end{matrix}

(Szabó Károly.)

II. Megoldás.
Legyenek a

t

területű háromszögek középvonalai

k_{1}, k_{2}, k_{3}

és

k_{1} + k_{2} + k_{3} = k

; akkor (K.M.L.IV. évf. 63. lapja)

\begin{matrix} t = \frac{4}{3} \sqrt[]{k (k - k_{1}) (k - k_{2}) (k - k_{3})} . \end{matrix}

A középvonalból szerkesztett háromszög területe:

\begin{matrix} t' = \sqrt[]{k (k - k_{1}) (k - k_{2}) (k - k_{3})} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} t' = \frac{3}{4} t . \end{matrix}

A feladatot még megoldották: Dénes A., Détshy K., Erdős A., Fekete J., Freibauer E., Goldziher K., Kertész L., Koós A., Kornis Ö., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Manheim I., Perl Gy., Raab L., Roth M., Sasvári G., Schiffer H., Szabó I., Weisz Á., Weisz J.