Kezdőlap


Feladat:	437. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fekete Jenő
Füzet:	1898/február, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Paraméteres egyenletrendszerek, Nevezetes azonosságok, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/november: 437. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott egyenletek még így is írhatók:

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = a x y \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = b x y \end{matrix}

(2)

(1) még így is írható:

\begin{matrix} (x + y) (x^{2} + y^{2} - x y) = a x y \end{matrix}

mibe (2)-t téve:

\begin{matrix} (x + y) x y (b - 1) = a x y . \end{matrix}

(3)

Ezen egyenletet

x = y = 0

értékek kielégítik.

x y

-nal osztva:

\begin{matrix} x + y = \frac{a}{b - 1} \end{matrix}

(4)

(4)-nek négyzetéből (2)-t kivonva:

\begin{matrix} 2 x y = \frac{a^{2}}{{(b - 1)}^{2}} - b x y, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x y = \frac{a^{2}}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)} \end{matrix}

(5)

x

és

y

tehát (4) és (5) alapján a következő egyenlet gyökei:

\begin{matrix} u^{2} - \frac{a}{(b - 1)} u + \frac{a^{2}}{{(b - 1)}^{2} (b + 2)} = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} u_{1} = x_{1} = y_{2} = \frac{a (b + 2 + \sqrt[]{b^{2} - 4})}{2 (b - 1) (b + 2)} \end{matrix}

és

\begin{matrix} u_{2} = x_{2} = y_{1} = \frac{a (b + 2 - \sqrt[]{b^{2} - 4})}{2 (b - 1) (b + 2)} \end{matrix}

(Fekete Jenő.)

Megoldások száma: 27.