Kezdőlap


Feladat:	435. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck Ferencz , Bobál S. , Dénes A. , Devecis M. , Erdős A. , Fekete J. , Freibauer Ede , Goldziher K. , Kallos M. , Kertész Lajos , Klein A. , Kornis Ö. , Lukhaub Gy. , Posgay B. , Probst E. , Schiffer H. , Szabó K. , Weisz A. , Weisz J.
Füzet:	1898/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/november: 435. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{b c}}, sin \frac{B}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{a c}}, \end{matrix}

\begin{matrix} sin \frac{C}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{a b}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} sin \frac{B}{2} sin \frac{C}{2} = \frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{a b c}; \end{matrix}

számlálót és nevezőt

s

-sel szorozva:

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} = \frac{s (s - a) (s - b) (s - c)}{a b c \cdot s} = \frac{T^{2}}{a b c \cdot s} . \end{matrix}

\begin{matrix} R = \frac{a b c}{4 T} és r = \frac{T}{s} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} = \frac{r}{4 R}, \end{matrix}

ahol

r

a háromszögbe,

R

a háromszög köré ír kör sugara; mivel pedig

r < R

, azért

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} < \frac{1}{4} . \end{matrix}

(Beck Ferencz, Fiume.)

II. Megoldás.

\begin{matrix} sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} = sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot cos (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \end{matrix}

\begin{matrix} = sin \frac{A}{2} \cdot cos \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot cos \frac{B}{2} - sin^{2} \frac{A}{2} \cdot sin^{2} \frac{B}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{4} \cdot sin A \cdot sin B - sin^{2} \frac{A}{2} \cdot sin^{2} \frac{B}{2}; \end{matrix}

minthogy

sin A

és

sin B

legnagyobb értéke

= 1

, azért

\begin{matrix} \frac{1}{4} \cdot sin A \cdot sin B < \frac{1}{4}, \end{matrix}

tehát minthogy

sin^{2} \frac{A}{2} \cdot sin^{2} \frac{B}{2}

positív: annál is inkább áll, hogy:

\begin{matrix} \frac{1}{4} \cdot sin A \cdot sin B - sin^{2} \frac{A}{2} \cdot sin^{2} \frac{B}{2} = sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} < \frac{1}{4} . \end{matrix}

(Kertész Lajos.)

III. Megoldás.

\begin{matrix} = sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2} = \frac{sin A \cdot sin B \cdot sin C}{8 \cdot cos \frac{A}{2} \cdot cos \frac{B}{2} \cdot cos \frac{C}{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{sin A \cdot sin B \cdot sin C}{2 \cdot (sin A + sin B + sin C)} = \frac{1}{8} \cdot \frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C)} . \end{matrix}

\begin{matrix} sin 2 A < 2 sin A, sin 2 B < 2 sin B, sin 2 C < 2 sin C \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C < 2 (sin A + sin B + sin C), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C} < 2 \end{matrix}

ezen egyenlőtlenség mindkét oldalá-t

8

-czal osztva:

\begin{matrix} \frac{1}{8} \cdot \frac{sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C}{sin A + sin B + sin C} < \frac{1}{4} . \end{matrix}

(Freibauer Ede, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Bobál S., Dénes A., Devecis M., Erdős A., Fekete J., Goldziher K., Kallos M., Klein A., Kornis Ö., Lukhalub Gy., Posgay B., Probst E., Schiffer H., Szabó K., Weisz A., Weisz J.