Kezdőlap


Feladat:	418. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bojedain F. , Détshy K. , Devecis M. , Fekete Jenő , Kornis Ö. , Lukhaub Gy. , Magyar S. , Petrogalli G. , Probst E. , Spitzer Ö. , Szabó I.
Füzet:	1898/január, 98 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Terület, felszín, Csonkakúp, Gömb és részei, Háromszögek hasonlósága, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/október: 418. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett távolság $D G = x$ , a gömbből kivágott kör sugara $E G = y$ , a kúpból kivágott kör sugara $F G = z$ .

A feladat értelmében:

\begin{matrix} y^{2} π = 2 z^{2} π \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y^{2} = 2 z^{2} . \end{matrix}

(1)

A F G

és

A B D

hasonló háromszögekből:

\begin{matrix} z = \frac{r (m - x)}{m} \end{matrix}

(2)

mit (1)-be téve:

\begin{matrix} y^{2} = \frac{2 r^{2} {(m - x)}^{2}}{m^{2}} \end{matrix}

(3)

Ha a gömb sugarát

R

-rel jelöljük, úgy

B O D

háromszögből:

\begin{matrix} R^{2} = r^{2} + {(m - R)}^{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} R = \frac{r^{2} + m^{2}}{2 m} \end{matrix}

(4)

E G O

háromszögből:

\begin{matrix} y^{2} = R^{2} - {[R - (m - x)]}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 (m - x) R - {(m - x)}^{2} \end{matrix}

mibe (3)-at és (4)-et helyettesítve és

(m - x)

-szel rövidítve:

\begin{matrix} \frac{2 r^{2} (m - x)}{m^{2}} = 2 \frac{r^{2} + m^{2}}{2 m} - (m - x), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} m - x = \frac{m r^{2} + m^{3}}{2 r^{2} + m^{2}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x = \frac{m r^{2}}{2 r^{2} + m^{2}} . \end{matrix}

(Fekete Jenő.)

A feladatot még megoldották: Bojedain F., Détshy K., Devecis M., Kornis Ö., Lukhaub Gy., Magyar S., Petrogalli G., Probst E., Spitzer Ö., Szabó I.