Kezdőlap


Feladat:	413. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dénes A. , Goldziher K. , Hrivnák A. , Kornis Ö. , Laczkó E. , Perl Gy. , Roth M. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó Károly
Füzet:	1898/január, 97. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Terület, felszín, Koszinusztétel alkalmazása, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/október: 413. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden háromszögben

\begin{matrix} r = \frac{2 T}{a + b + c}, R = \frac{A B C}{4 T}, cos α = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, \end{matrix}

\begin{matrix} sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{a^{2} - {(b - c)}^{2}}{4 b c} . \end{matrix}

Ez értékekre a feltételből folyik:

\begin{matrix} \frac{2 T}{a + b + c} = \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2}) (a + b - c) (a + c - b}{8 T b c}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 16 T^{2} = \frac{a (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{b c} (a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) . \end{matrix}

Ám másrészt

\begin{matrix} 16 T^{2} = (b + c - a) (a + b + c) (a + b - c) (a + c - b) . \end{matrix}

E két összefüggésből ered:

\begin{matrix} a (b^{2} + c^{2} - a^{2}) = b c (b + c - a), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} (a - b) (a - c) (a + b + c) = 0 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} (a - b) (a - c) = 0, \end{matrix}

a mi csak úgy lehetséges, ha vagy

a = b,

vagy

a = c

(Szabó Károly.)

A feladatot még megoldották: Dénes A., Goldziher K., Hrivnák A., Kornis Ö., Laczkó E., Perl Gy., Roth M., Spitzer Ö., Szabó I.