$S_1{S}_2{S}_3$ illetőleg $S_a\mathrm{,}{S}_b\mathrm{,}{S}_c$ oly körök középpontjai, melyekben az $ABC$ háromszög oldalaihoz mint húrokhoz, ${60}^{\circ }$, illetőleg ${120}^{\circ }$-ú kerületi szögek tartoznak. Az $S_1{S}_2{S}_3$, illetőleg $S_a\mathrm{,}{S}_b\mathrm{,}{S}_c$ körök tehát egy-egy $P$ vagy $P\text{'}$ pontban metszik egymást és az $APB\mathrm{,}APC\mathrm{,}BPC\mathrm{,}AP\text{'}B\mathrm{,}AP\text{'}C$és $BP\text{'}C$ szögek értéke ${120}^{\circ }$ vagy ${60}^{\circ }$. Az $S_1{S}_2{S}_3$ és az $S_a{S}_b{S}_c$ háromszögek oldalai, mint középpontvonalak e szögek száraira, mint közös húrokra merőlegesek, az általuk bezárt szögek értéke tehát ${60}^{\circ }$. Ennélfogva a két háromszög szabályos. A tétel második részét az $S_1{S}_2{S}_3$ háromszögre bizonyítjuk be; az $S_a\mathrm{,}{S}_b\mathrm{,}{S}_c$ háromszögre a bizonyítás ugyanaz. Legyenek $ABC$ háromszög oldalfelező pontjai $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$, súlypontja $S$; az egyenlő oldalú háromszögek csúcsai $A\mathrm{,}B\mathrm{,}C$-n kívül $A_1\mathrm{,}{B}_1\mathrm{,}{C}_1$. A $B_{1}AB$ és $CA{C}_1$ háromszögek egybevágók, mert $B_{1}A=CA\mathrm{,}AB=A{C}_1\mathrm{,}{B}_{1}AB\sphericalangle =CA{C}_1\sphericalangle =A+{60}^{\circ }$. Ennélfogva $B{B}_1=C{C}_1$, hasonlóképp $B{B}_1=A{A}_1$; tehát $A{A}_1=B{B}_1=C{C}_1$. Az $A\text{'}A$ és $A\text{'}{A}_1$ egyeneseket $S$ és $S_1$ ugyanazon $\left(1:2\right)$ arányban osztják, tehát $S{S}_1=\frac{A{A}_1}{3}$; épp így