Feladat: 409. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dénes A. ,  Devecis M. ,  Erdős Aurél ,  Goldziher K. ,  Guttmann M. ,  Kornis Ödön ,  Lukhaub Gy. ,  Mannheim E. ,  Perl Gy. ,  Roth M. ,  Spitzer Ö. ,  Szabó I. 
Füzet: 1898/február, 106 - 108. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Oszthatóság, Pitagoraszi számhármasok, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1897/október: 409. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. 1∘. Minden páros szám négyzete osztható 4-gyel; minden páratlan szám négyzete páratlan s így 4n+2 nem lehet egy egész szám négyzete.
2∘. 3n+2 nem osztható 3-mal, miért is egy 3-mal osztható szám négyzete nem lehet 3n+2 alakú. Egy 3-mal nem osztható szám 3p±1 alakú; ennek négyzete:

(3p±1)2=9p2±6p+1=3q+1.
Tehát egész szám négyzete nem lehet 3n+2 alakú.
3∘. Ha mindkét szám páratlan, úgy A±1 és B±1 páros; de
(A2-1)+(B2-1)=(A+1)(A-1)+(B+1)(B-1)
s így a jobb oldal osztható 2×2=4-gyel, tehát 4n alakú; ennélfogva:
A2+B2=4n+2
alakú s így A2+B2 nem lehet egy egész szám négyzete.
4∘. Ha egyik szám sem osztható 3-mal, úgy A+1 vagy A-1 és B+1 vagy B-1 számok közül az egyik osztható 3-mal. Tehát (A2-1)+(B2-1)=(A+1)(A-1)+(B+1)(B-1) kifejezés 3n-alakú; miből következik, hogy A2+B2 kifejezés 3n+2 alakú s így nem négyzete egy egész számnak.
5∘. A és B számok közül tehát az egyiknek párosnak kell lennie, s így AB osztató 2-vel és 3-mal, úgy 6-tal is osztható.
 
(Erdős Aurél.)

 
II. Megoldás. A és B a Pythagoras-féle háromszögek befogói, C e háromszögek átfogója. Így tehát A=m2-n2,B=2mn,C=m2+n2, hol m és n tetszés szerinti egész számok és m>n. Az AB=2mn(m2-n2) szorzat így is írható:
AB=2mn[(m+1)(m-1)-(n+1)(n-1)].

1∘. Ha m vagy n osztható 3-mal, akkor 2mn osztható 6-tal. Ha m vagy n páros szám, akkor 2mn és így AB is osztható 12-vel. Ha sem m, sem n nem páros, akkor a zárójelben álló külömbség, mint páratlan számok külömbsége, osztható 2-vel s így az egész AB szorzat 12-vel.
2∘. Ha sem m, sem n nem osztható 3-mal, akkor (m+1)(m-1) és (n+1)(n-1) szorzatok oszthatók 3-mal és így a zárójelben álló kifejezés is osztható 3-mal. Ha m vagy n páros, akkor AB osztható 2×2×3=12-vel; ha m és n páratlanok, akkor m2-n2 páros szám és így AB szintén osztható 12-vel.
Látjuk tehát, hogy AB szorzat az adott feltételek mellet mindig osztható 12-vel.
 
(Kornis Ödön.)
 
A feladatot még megoldották: Dénes A., Devecis M., Goldziher K., Guttmann M., Lukhaub Gy., Manheim E., Perl Gy., Roth M., Spitzer Ö., Szabó I.