Kezdőlap


Feladat:	408. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna D. , Dénes A. , Erdős A. , Goldziher K. , Groffits G. , Kertész L. , Kornis Ö. , Manheim E. , Schwartz E. , Szabó K. , Weisz József
Füzet:	1898/január, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/október: 408. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(2)-ből:

\begin{matrix} y = \frac{k + \frac{1}{k}}{2} p \pm \frac{1}{2} \sqrt[]{{(k + \frac{1}{k})}^{2} p^{2} - 4 p^{2} - 4 q {(k - \frac{1}{k})}^{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{k + \frac{1}{k}}{2} p \pm \frac{1}{2} \sqrt[]{(k^{2} + \frac{1}{k^{2}}) (p^{2} - 4 q) - 2 (p^{2} - 4 q)} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{k + \frac{1}{k}}{2} p \pm \frac{1}{2} \sqrt[]{{(k - \frac{1}{k})}^{2} (p^{2} - 4 q)} \end{matrix}

(4)

A gyökjel alatt álló kifejezés előjele

p^{2} - 4 q

előjelétől függ; ha tehát az első egyenlet gyökei valósak, úgy a második egyenlet gyökei is valósak.
(4) még így is írható:

\begin{matrix} y = \frac{k + \frac{1}{k}}{2} p \pm \frac{k - \frac{1}{k}}{2} \sqrt[]{p^{2} - 4 q} \end{matrix}

(5)

s minthogy

\begin{matrix} p = - (x_{1} + x_{2}) és q = x_{1} x_{2} \end{matrix}

azért

\begin{matrix} y = \frac{1}{2} [(k + \frac{1}{k}) (x_{1} + x_{2}) \pm (k - \frac{1}{k}) \sqrt[]{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}] = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{1}{2} [(k + \frac{1}{k}) (x_{1} + x_{2}) \pm (k - \frac{1}{k}) (x_{1} - x_{2})] \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y_{1} = k x_{1} + \frac{1}{k} x_{2} és y_{2} = k x_{2} + \frac{1}{k} x_{1} . \end{matrix}

(6)

(3)-ból:

\begin{matrix} z = \frac{(k x_{1} + \frac{1}{k} x_{2}) \pm (k x_{1} - \frac{1}{k} x_{2})}{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} z_{1} = k x_{1} és z_{2} = \frac{1}{k} x_{2}; \end{matrix}

(7)

hasonlóképp nyerjük, hogy az utolsó egyenlet gyökei:

\begin{matrix} z'_{1} = k x_{2} és z'_{2} = \frac{1}{k} x_{1}; \end{matrix}

(8)

(7)-ből és (8)-ból látjuk, hogy

x_{1}, x_{2}

és

k

valós értékei mellett a (3) alatti egyenletek gyökei is valósak.

(Weisz József, Budapest, ág. h. ev. főgymn.)

A feladatot még megoldották: Barna D., Dénes A., Erdős A., Goldziher K., Groffits G., Kertész L., Kornis Ö., Manheim E., Schwartz E., Szabó K.