Kezdőlap


Feladat:	406. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bella István , Devecis M. , Goldziher K. , Halász P. , Juvancz I. , Kármán T. , Szabó I.
Füzet:	1898/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/szeptember: 406. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott körnek $x_{1} y_{1}$ pontjában rajzolt érintő egyenlete: $x x_{1} + y y_{1} = 20$ ; az ellipsis $x_{2} y_{2}$ pontjában rajzolt érintő egyenlete: $16 x x_{2} + 25 y y_{2} = 400$ , mely egyenletek még így is írhatók:

\begin{matrix} y = - \frac{x_{1}}{y_{1}} x + \frac{20}{y_{1}} és y = - \frac{16 x_{2}}{25 y_{2}} x + \frac{16}{y_{2}} . \end{matrix}

Minthogy az érintők a görbék közös érintői, azért ezen egyenletek ugyanazon egyenesnek egyenletei s így:

\begin{matrix} \frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{16 x_{2}}{25 y_{2}} és \frac{20}{y_{1}} = \frac{16}{y_{2}} \end{matrix}

(1)

Minthogy továbbá az

(x_{1} y_{1})

és

(x_{2} y_{2})

pontokban érintik az érintők a görbéket, azért e coordináták az érintők egyenletét kielégítik s így:

\begin{matrix} x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 20 \end{matrix}

és

\begin{matrix} 16 x_{1} x_{2} + 25 y_{1} y_{2} = 400, \end{matrix}

mely egyenletekből:

\begin{matrix} x_{1} x_{2} = \frac{100}{9} és y_{1} y_{2} = \frac{80}{9} . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) egyenletekből meghatározhatjuk a

8

érintési pont coordinátáit, melyek a következők:

\begin{matrix} (\frac{2}{3} \sqrt[]{20}, \frac{10}{3}), (- \frac{2}{3} \sqrt[]{20}, \frac{10}{3}), (- \frac{2}{3} \sqrt[]{20}, - \frac{10}{3}), (\frac{2}{3} \sqrt[]{20}, - \frac{10}{3}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} (\frac{5}{6} \sqrt[]{20}, \frac{8}{3}), (- \frac{5}{6} \sqrt[]{20}, \frac{8}{3}), (- \frac{5}{6} \sqrt[]{20}, - \frac{8}{3}), (\frac{5}{6} \sqrt[]{20}, - \frac{8}{3}) . \end{matrix}

Ha az

x x_{1} + y y - 1 = 20

vagy

16 x x_{2} + 25 y y_{2} = 400

egyenletekbe az

(x_{1}, y_{1})

, illetőleg

(x_{2}, y_{2})

megfelelő értékeit helyettesítjük, úgy megkapjuk a közös érintők egyenleteit:

\begin{matrix} y = - \frac{2}{5} \sqrt[]{5} x + 6, y = \frac{2}{5} \sqrt[]{5} x + 6, y = \frac{2}{5} \sqrt[]{5} x - 6, y = - \frac{2}{5} \sqrt[]{5} x - 6. \end{matrix}

A szögeket, melyekben egymást a görbék metszik, megkapjuk, ha a metszési pontokban rajzolható érintők által bezárt szögeket határozzuk meg.
A kör és ellipsis négy közös pontjának coordinátái:

\begin{matrix} (\frac{10}{3}, \frac{4}{3} \sqrt[]{5}), (- \frac{10}{3}, \frac{4}{3} \sqrt[]{5}), (- \frac{10}{3}, - \frac{4}{3} \sqrt[]{5}), (\frac{10}{3}, - \frac{4}{3} \sqrt[]{5}) . \end{matrix}

Az első pontban a körhöz, illetőleg az ellipsishez húzható érintők egyenletei:

\begin{matrix} y = - \frac{\sqrt[]{5}}{2} x + 3 \sqrt[]{5}, y = - \frac{8}{25} \sqrt[]{5} x + \frac{12}{5} \sqrt[]{5} . \end{matrix}

Az ezen egyenesek által bezárt szög:

\begin{matrix} μ = 167^{\circ} 23' 44'' . \end{matrix}

(Bella István.)

A feladatot még megoldották: Devecis M., Goldziher K., Halász P., Juvancz I., Kármán T., Szabó I.