Kezdőlap


Feladat:	402. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Détshy K. , Freibauer E. , Goldziher K. , Spitzer Ö. , Szabó Károly , Weisz J.
Füzet:	1897/december, 79. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenletrendszerek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/szeptember: 402. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\begin{matrix} ctg x + tg y = 2 \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} sin x \cdot cos y = \frac{1}{4} . \end{matrix}

(2)

(1)-ből

\begin{matrix} cos x cos y + sin x sin y = 2 sin x cos y \end{matrix}

mibe (2)-t helyettesítve:

\begin{matrix} cos x cos y + sin x sin y = \frac{1}{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} cos (x - y) = \frac{1}{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x - y = 60^{\circ} . \end{matrix}

(3)

(2)-ből

\begin{matrix} 2 sin x cos y = \frac{1}{2} \end{matrix}

(4)

(3)-ból

\begin{matrix} sin x cos y - cos x sin y = \frac{1}{2} \sqrt[]{3} \end{matrix}

mely egyenletet (4)-ből levonva, kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin x cos y + cos x sin y = \frac{1}{2} (1 - \sqrt[]{3}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} sin (x + y) = \frac{1}{2} (1 - \sqrt[]{3}) = - \frac{1}{2} (\sqrt[]{3} - 1), \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x + y = 360^{\circ} - 21^{\circ} 28' 15'' = 338^{\circ} 31' 45'' \end{matrix}

és

\begin{matrix} x + y = 180^{\circ} + 21^{\circ} 28' 15'' = 201^{\circ} 28' 15'' \end{matrix}

Ezen értékeket (3)-mal összekapcsolva, kapjuk, hogy

\begin{matrix} x_{1} = 199^{\circ} 15' 53'', y_{1} = 139^{\circ} 15' 53'', x_{2} = 130^{\circ} 44' 7'', y_{2} = 70^{\circ} 44' 7'' . \end{matrix}

(Szabó Károly.)

A feladatot még megoldották: Détshy K., Freibauer E., Goldziher K., Spitzer Ö., Weisz J.