Feladat:	401. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck F. ,  Bojedain F. ,  Dénes A. ,  Détshy K. ,  Devecis M. ,  Dolowschiák M. ,  Fekete J. ,  Freibauer E. ,  Goldziher K. ,  Kármán Tódor ,  Kertész L. ,  Kürth A. ,  Laczkó E. ,  Lukhaub Gy. ,  Makk I. ,  Petrogalli G. ,  Porkoláb J. ,  Probst E. ,  Schiffer H. ,  Schwartz E. ,  Spitzer S. ,  Spitzer Ö. ,  Szabó I. ,  Szabó K. ,  Tüske J. ,  Weisz Á. ,  Weisz J.
Füzet:	1897/november, 51. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/szeptember: 401. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\sqrt[]{y}+5}{\sqrt[]{x}}+\frac{\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{y}+5}=\frac{50}{7}}\end{array}$ (1) $\begin{array}{c}{\displaystyle x+2\sqrt[]{xy}+y=9.}\end{array}$ (2) Legyen $\sqrt[]{x}=u$ és $\sqrt[]{y}=v$; akkor (2)-ből lesz: $\begin{array}{c}{\displaystyle u^2+2uv+v^2=\mathrm{9,}}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle u+v=\pm 3.}\end{array}$ (3) Ha $u+v=3$, úgy( 1)-ből kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v+5}{3-v}+\frac{3-v}{v+5}=\frac{50}{7}\mathrm{,}}\end{array}$ Ezen egyenletet rendezve, nyerjük: $\begin{array}{c}{\displaystyle v^2+2v-8=0.}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1=\mathrm{2,}{v}_2=-4.}\end{array}$ Ha pedig $u+v=-3$, úgy (1)-ből lesz: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{v+5}{3+v}+\frac{3+v}{v+5}=-\frac{50}{7}}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle 16v^2+128v+247=\mathrm{0,}}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle v_3=-\frac{13}{4}\mathrm{,}{v}_4=-\frac{19}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ $u$-nak megfelelő értékeit (3)-ból kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle u_1=\mathrm{1,}{u}_2=\mathrm{7,}{u}_3=\frac{1}{4}\mathrm{,}{u}_4=\frac{7}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ A megadott egyenlet gyökei tehát: $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1=\mathrm{1,}{y}_1=\mathrm{4,}{x}_2=\mathrm{49,}{y}_2=\mathrm{16,}{x}_3=\frac{1}{16}\mathrm{,}{y}_3=\frac{169}{16}\mathrm{,}{x}_4=\frac{49}{16}\mathrm{,}{y}_4=\frac{361}{16}\mathrm{.}}\end{array}$   (Kármán Tódor.)   A feladatot még megoldották: Beck F., Bojedain F., Dénes A., Détshy K., Devecis M., Dolowschiák M., Fekete J., Freibauer E., Goldziher K., Kertész L., Kürth A., Laczkó E., Lukhaub Gy., Makk I., Petrogalli G., Porkoláb J., Probst E., Schiffer H., Schwartz E., Spitzer Ö., Spitzer S., Szabó I., Szabó K., Tüske J., Weisz Á., Weisz J.