Kezdőlap


Feladat:	394. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Devecis M. , Goldziher K. , Kármán T. , Manheim Emil , Szabó K.
Füzet:	1897/december, 76 - 77. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/szeptember: 394. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$B C = a$ oldalnak $B$ végpontjában merőlegest emelünk, melyre $d = \sqrt[]{b^{2} - c^{2}}$ távolságot rámérjük. $D C$ -nek $P$ középpontjában merőlegest emelünk, mely $B C$ -t $M$ -ben metszi. $B C$ -re $M$ pontban merőlegest emelünk; körzőnyílásba vesszük $k$ -t és $B C$ oldal $K$ középpontjából körívet rajzolunk, mely az $M$ -ben emelt magasságot $A$ -ban metszi. $A B C$ a keresett háromszög.

Bizonyítás.

B C = a, A K = k

; még ki kell mutatnunk, hogy

\begin{matrix} {\bar{A C}}^{2} - {\bar{A B}}^{2} = b^{2} - c^{2} = d^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{B D}}^{2} = d^{2} = {\bar{D M}}^{2} - {\bar{B M}}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} D M = M C \end{matrix}

s így

\begin{matrix} d^{2} = {\bar{M C}}^{2} - {\bar{M B}}^{2} \end{matrix}

(1)

A M C

háromszögből

\begin{matrix} {\bar{A M}}^{2} = b^{2} - {\bar{M C}}^{2} \end{matrix}

A M B

háromszögből

\begin{matrix} {\bar{A M}}^{2} = c^{2} - {\bar{B M}}^{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} b^{2} - c^{2} = {\bar{M C}}^{2} - {\bar{B M}}^{2} \end{matrix}

(2)

(1)-et (2)-vel összehasonlítva látjuk, hogy:

\begin{matrix} b^{2} - c^{2} = d^{2} . \end{matrix}

(Manheim Emil.)

A feladatot még megoldották: Devecis M., Erdős A., Goldziher K., Kármán T., Szabó K.