Kezdőlap


Feladat:	393. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck F. , Dénes A. , Détshy K. , Devecis M. , Erdős A. , Fekete J , Fleischmann S. , Freibauer E. , Goldziher K. , Horovitz E. , Kármán T. , Kertész L. , Orlowszky Frigyes , Posgay B. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K. , Weisz J.
Füzet:	1897/december, 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Térfogat, Tengely körüli forgatás, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/szeptember: 393. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A forgási test köbtartalma két közös alapú kúp köbtartalmának összege, vagy különbsége. Legyen a háromszög $a$ oldalához tartozó magasság $A D = m_{1}$ , továbbá $B D = x$ és $D C = a - x$ . Ha a háromszög az $a$ oldal körül forog, úgy a keletkező forgási test köbtartalma:

\begin{matrix} V_{1} = \frac{m_{1}^{2} π x}{3} + \frac{m_{1}^{2} π (a - x)}{3} = \frac{a m_{1}^{2} π}{3}, \end{matrix}

\begin{matrix} a m_{1} = 2 \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} V_{1} = \frac{4 π}{3 a} s (s - a) (s - b) (s - c) . \end{matrix}

Ha a háromszög

b

illetőleg

c

körül forog, úgy hasonlóképp nyerjük, hogy

\begin{matrix} V_{2} = \frac{4 π}{3 b} s (s - a) (s - b) (s - c) \end{matrix}

és

\begin{matrix} V_{3} = \frac{4 π}{3 c} s (s - a) (s - b) (s - c) . \end{matrix}

Látjuk, hogy a háromszögnek a legkisebb oldal körül kell forognia, hogy a keletkező test köbtartalma legnagyobb legyen.

(Orlowszky Frigyes, Szamosujvár.)

A feladatot még megoldották: Beck F., Dénes A., Devecis M., Erdős A., Fekete J., Fleischmann S., Freibauer E., Goldziher K., Horovitz E., Kármán T., Kertész L., Posgay B., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Weisz J.