Kezdőlap


Feladat:	390. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdős A. , Fekete J. , Friedmann Bernát , Goldziher K. , Grosz A. , Kántor N. , Kornis Ö. , Riesz F. , Szabó I. , Szabó K.
Füzet:	1897/december, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Beírt kör, Beírt háromszög, Középponti és kerületi szögek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/szeptember: 390. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a pontok, melyekben a kör az $A B C$ háromszög oldalait érinti, $A_{1}, B_{1}, C_{1} .$ Az $A_{1} B_{1} C$ , $B_{1} C_{1} A$ és $C_{1} A_{1} B$ háromszögek egyenlőszárúak, tehát pl. $A B_{1} C_{1} ∢ = 90^{\circ} - \frac{α}{2}$ ; de $A B_{1} C_{1}$ és $B_{1} A_{1} C_{1}$ ugyanazon körívhez tartozó kerületi szögek, tehát $B_{1} A_{1} C_{1} ∢ = α_{1} = 90^{\circ} - \frac{α}{2}$ . Hasonlóképp $β_{1} = 90^{\circ} - \frac{β}{2}$ és $γ_{1} = 90^{\circ} - \frac{γ}{2}$ .
Az $A_{1} B_{1} C_{1}$ háromszög talpponti háromszögének szögei tehát (K.M.L.IV.45. l.) $180^{\circ} - 2 α_{1} = α, 180^{\circ} - 2 β_{1} = β, 180^{\circ} - 2 γ_{1} = γ$ . E talpponti háromszög tehát az $A B C$ háromszöghöz hasonló.
Jelöljük az $A B C$ háromszög kerületét $K$ -val, a talpponti háromnszögek kerületei pedig $k$ -val és $k_{1}$ -gyel. Tdujuk, hogy (K.M.L.V.16. l.)

\begin{matrix} K : k = R : r \end{matrix}

(1)

De minthogy az eredeti háromszög és az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög talpponti háromszögei hasonlóak, azért e háromszögek kerületei arányosak a körülírható körök sugaraival. Az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög köré írható kör sugara

r

, a talpponti háromszög köré írható kör sugara tehát

\frac{r}{2}

s így

\begin{matrix} K : k_{1} = R : \frac{r}{2} \end{matrix}

(2)

A két aránylatot egymással összehasonlítva, látjuk, hogy

\begin{matrix} k_{1} = \frac{k}{2} . \end{matrix}

(Friedmann Bernát, bölcsészethallgató.)

A feladatot még megoldották: Grosz A., Kántor N., Riesz Fr. egyetemi hallgatók; továbbá Erdős A., Fekete J., Goldziher K., Kornis Ö., Szabó I., Szabó K.