Kezdőlap


Feladat:	389. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna D. , Bojedain F. , Dénes A. , Détshy K. , Devecis M. , Erdős Aurél , Fekete J , Freibauer E. , Goldziher K. , Kármán T. , Laczkó E. , Lukhaub Gy. , Orlowszky E. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K. , Weisz J.
Füzet:	1897/december, 72 - 73. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Alakzatba írt kör, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/szeptember: 389. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C$ háromszög oldalain az érintési pontok $A_{1}, B_{1}, C_{1} .$ Minthogy

\begin{matrix} A B_{1} = A C_{1}, B C_{1} = B A_{1} és C A_{1} = C B_{1}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} s = \frac{a + b + c}{2} = A_{1} C + B C_{1} + C_{1} A = A_{1} C + c \end{matrix}

s így

\begin{matrix} C A_{1} = C B_{1} = s - c \end{matrix}

hasonlóképp

\begin{matrix} A B_{1} = A C_{1} = s - a \end{matrix}

Ennélfogva az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög

A_{1} B_{1}

oldala oly egyenlőszárú háromszög alapja, melynek szárai

C A_{1} = C B_{1} = s - c

nagyságúak, s melyben a

C

csúcsnál fekvő szög

γ

; így tehát:

\begin{matrix} A_{1} B_{1} = 2 (s - c) sin \frac{γ}{2} = s (s - c) \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{a b}} . \end{matrix}

Épp így

\begin{matrix} A_{1} C_{1} = 2 (s - b) sin \frac{β}{2} = 2 (s - b) \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - c)}{a c}} . \end{matrix}

\begin{matrix} B_{1} C_{1} = 2 (s - a) sin \frac{α}{2} = 2 (s - a) \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{b c}} . \end{matrix}

Ha az

A_{1}, B_{1} C_{1}

pontokat a háromszögbe írt kör

O

középpontjával összekötjük, úgy

\begin{matrix} B_{1} C_{1} ⊥ A O \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} O C_{1} B_{1} ∢ = B A O ∢ = \frac{α}{2} \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} A_{1} C_{1} ⊥ B O \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} O C_{1} A_{1} ∢ = A B O ∢ = \frac{β}{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} A_{1} C_{1} B_{1} ∢ = B A O ∢ + A B O ∢ = \frac{α + β}{2}, \end{matrix}

miért is

\begin{matrix} sin A_{1} C_{1} B_{1} = sin \frac{α + β}{2} = cos \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - c)}{a b}} \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} sin A_{1} B_{1} C_{1} = sin \frac{α + γ}{2} = cos \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - b)}{a c}} \end{matrix}

\begin{matrix} sin B_{1} A_{1} C_{1} = sin \frac{β + γ}{2} = cos \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{s (s - a)}{b c}} . \end{matrix}

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszög területe

\begin{matrix} T = \frac{A_{1} B_{1} \cdot A_{1} C_{1}}{2} sin \frac{β + γ}{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{2 (s - a) (s - b) (s - c)}{a b c} \sqrt[]{s (s - a) (s - b) (s - c)} . \end{matrix}

(Erdős Aurél.)

A feladatot még megoldották: Barna D., Bojedain F., Dénes A., Détshy K., Devecis M., Fekete J., Freibauer E., Goldziher K., Kármán T., Laczkó E., Lukhaub Gy., Orlowszky F., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Weisz J.