Kezdőlap


Feladat:	376. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck F. , Dénes A. , Devecis M. , Friedmann B. , Krátky Gy. , Misángyi V , Petrogalli G. , Porde Gy. , Porkoláb J. , Schiffer H. , Spitzer Ödön , Szabó I. , Weisz Á. , Weisz J.
Füzet:	1897/november, 56 - 58. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szinusztétel alkalmazása, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 376. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megszerkesztjük az $A B C$ háromszöget, melyben $A B = K$ , $A ∢ = \frac{α}{2}$ és $B ∢ = \frac{β}{2}$ . $C$ pontban felvisszük $A C$ mellé $\frac{α}{2}$ , $B C$ mellé $\frac{β}{2}$ szögeket. E szögek szárai az $A B$ egyenest $E$ és $D$ pontokban metszik. $E D C$ a keresett háromszög.
Bizonyítás.

\begin{matrix} C D E ∢ = D C B ∢ + D B C ∢ = \frac{β}{2} + \frac{β}{2} = β \end{matrix}

\begin{matrix} C E D ∢ = C A E ∢ + A C E ∢ = \frac{α}{2} + \frac{α}{2} = α \end{matrix}

\begin{matrix} E D + D C + C E = E D + D B + E A = A B . \end{matrix}

Az oldalak és a terület kiszámítása.

A C B

háromszögből:

\begin{matrix} K : C B = sin \frac{α + β}{2} : sin \frac{α}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} C B = K \frac{sin \frac{α}{2}}{sin \frac{α + β}{2}} \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} A C = K \frac{sin \frac{β}{2}}{sin \frac{α + β}{2}} \end{matrix}

C D B

egyenlőszárú háromszögből:

\begin{matrix} C B = 2 C D cos \frac{β}{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} C D = \frac{K}{2} \cdot \frac{sin \frac{α}{2}}{sin \frac{α + β}{2} cos \frac{β}{2}}, \end{matrix}

(1)

A C E

egyenlőszárú háromszögből:

\begin{matrix} A C = 2 E C cos \frac{α}{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} E C = \frac{K}{2} \cdot \frac{sin \frac{β}{2}}{sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α}{2}}, \end{matrix}

(2)

Végre a háromszög területe:

\begin{matrix} T = \frac{E C \cdot D C}{2} sin (α + β) = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{K^{2} sin \frac{β}{2} \cdot sin \frac{α}{2} \cdot 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α + β}{2}}{8 \cdot {[sin \frac{α + β}{2}]}^{2} cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{K^{2}}{4} \cdot tan \frac{α}{2} tan \frac{β}{2} cot \frac{α + β}{2} \end{matrix}

(3)

A megadott értékeket helyettesítve:

C D = 23,54

E C = 14,99

T = 168.5 m^{2}

(Spitzer Ödön.)

A feladatot még megoldották: Beck F., Dénes A., Devecis M., Friedmann B., Krátky Gy., Misángyi V., Petrogalli G., Porde Gy., Porkoláb J., Schiffer H., Szabó I., Weisz A., Weisz J.