Kezdőlap


Feladat:	375. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fekete Jenő
Füzet:	1898/február, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Beírt gömb, Beírt tetraéder, Beírt alakzatok, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Gömb és részei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 375. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a félgömb térfogata $V_{1}$ , a hexaëderé $V_{2}$ , a gömbé $V_{3}$ , a tetraëderé $V_{4}$ . Legyen továbbá $V$ a félgömb középpontja, mely egyúttal a tetraëder alaplapjának is középpontja; a tetraëdernek a félgömb felületén fekvő egyik csúcsa $A$ , ez utóbbinak vetülete a tetraëder alaplapjára $B$ .
Az $A B O$ derékszögű háromszögből ‐ ha a tetraëder élét $a$ -val, a gömb sugarát $r$ -rel jelöljük ‐ kapjuk, hogy

\begin{matrix} r^{2} = a^{2} + \frac{a^{2}}{2} = \frac{3}{2} a^{2}, \end{matrix}

miből,

\begin{matrix} a = \frac{r}{3} \sqrt[]{6} \end{matrix}

s így a tetraëder köbtartalma

\begin{matrix} V_{2} = \frac{2 r^{3}}{9} \sqrt[]{6} . \end{matrix}

(1)

a tetraëderbe írt gömb sugara:

\begin{matrix} r_{1} = \frac{a}{2} = \frac{r}{6} \sqrt[]{6} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} V_{3} = \frac{4 π r_{1}^{3}}{3} = \frac{π r^{3}}{27} \sqrt[]{6} . \end{matrix}

(2)

A gömbbe írható tetraëder éle:

\begin{matrix} b = \frac{2 r_{1}}{3} \sqrt[]{6} = \frac{2}{3} r \end{matrix}

a tetraëder köbtartalma:

\begin{matrix} V_{4} = \frac{b^{3}}{12} \sqrt[]{2} = \frac{2 r^{3}}{81} \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(3)

Minthogy az eredeti félgömb köbtartalma

\begin{matrix} V_{1} = \frac{2 π r^{3}}{3} \end{matrix}

(4)

azért (4), (1), (2) és (3) alapján:

\begin{matrix} V_{1} : V_{2} : V_{3} : V_{4} = \frac{2 π r^{3}}{3} : \frac{2 r^{3}}{9} \sqrt[]{6} : \frac{π r^{3}}{27} \sqrt[]{6} : \frac{2 r^{3}}{81} \sqrt[]{2} \end{matrix}

vagy az utótagokat

\frac{81 \sqrt[]{2}}{2 r^{3}}

-val szorozva:

\begin{matrix} V_{1} : V_{2} : V_{3} : V_{4} = 27 π \sqrt[]{2} : 18 \sqrt[]{3} : 3 π \sqrt[]{3} : 2. \end{matrix}

(Fekete Jenő.)

Megoldások száma: 25.