Kezdőlap


Feladat:	374. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna D. , Brandt D. , Erdős A. , Friedmann B. , Goldziher K. , Kármán T. , Kertész Lajos , Posgay B. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K.
Füzet:	1897/november, 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Tetraéderek, Derékszögű háromszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 374. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az alapélek $a, b, c$ ; az oldallapok területe $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ ; az oldalélek $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ . Minthogy az oldallapok derékszögű háromszögek, azért a területek négyzeteinek összege:

\begin{matrix} t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + t_{3}^{2} = \frac{e_{1}^{2} e_{2}^{2} + e_{2}^{2} e_{3}^{2} + e_{1}^{2} e_{3}^{2}}{4} \end{matrix}

az alap területének négyzete pedig:

\begin{matrix} T^{2} = \frac{1}{16} [(a + b + c) (a + b - c) (a - b + c) (b + c - a)] . \end{matrix}

(1)

Pythagoras tételét alkalmazva:

\begin{matrix} a^{2} = e_{1}^{2} + e_{2}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} b_{2}^{2} = e_{2}^{2} + e_{3}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} c^{2} = e_{3}^{2} + e_{1}^{2} . \end{matrix}

Ezen értékeket (1)-be helyettesítve és a kijelölt míveleteke elvégezve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} T^{2} = \frac{e_{1}^{2} e_{2}^{2} + e_{2}^{2} e_{3}^{2} + e_{3}^{2} e_{1}^{2}}{4} = t_{1}^{2} + t_{2}^{2} + t_{3}^{2} . \end{matrix}

(Kertész Lajos.)

A feladatot még megoldották: Barna D., Brandt D., Erdős A., Friedmann B., Goldziher K. és Kármán T.,Posgay B., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K.