Kezdőlap


Feladat:	373. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát
Füzet:	1897/november, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Diszkusszió, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 373. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A négyszög $A D$ és $B C$ oldalait meghosszabbítva, kapjuk $E$ pontot.

A B E

és

C D E

háromszögekből:

\begin{matrix} A E = \frac{a}{cos α}, B E = a tan α, D E = b tan α, C E = \frac{b}{cos α}, \end{matrix}

így tehát

\begin{matrix} A D = A E - D E = \frac{a}{cos α} - b tan α = \frac{a - b sin α}{cos α} \end{matrix}

\begin{matrix} B C = B E - C E = a tan α - \frac{b}{cos α} = \frac{a sin α - b}{cos α} . \end{matrix}

A feladat lehetséges, ha úgy

A D

, mint

B C

értéke positív, azaz, ha

\begin{matrix} a > b sin α és a sin α > b, \end{matrix}

vagyis, ha

\begin{matrix} \frac{a}{b} > sin α > \frac{b}{a} . \end{matrix}

sin α < 1

s így kell hogy

a

nagyobb legyen mint

b

. Szükséges és elégséges feltételek tehát:

\begin{matrix} a > b, sin α > \frac{b}{a} . \end{matrix}

A négyszög területe a két derékszögű háromszög területének külömbségével egyenlő. Mivel az

A B E

háromszög területe

\frac{a^{2} tan α}{2}

, a

C D E

háromszögé pedig

\frac{b^{2} tan α}{2}

, azért a négyszög területe

\begin{matrix} T = \frac{a^{2} - b^{2}}{2} tan α . \end{matrix}

(Friedmann Bernát.)