Kezdőlap


Feladat:	372. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Szabó Károly
Füzet:	1897/november, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Középpontos tükrözés, Beírt háromszög, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 372. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy az $A' B' C'$ talpponti háromszögben (lásd: K. M. L. IV. 45. lap.)

\begin{matrix} A' B' = c' = c cos γ \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} c'^{2} = c^{2} cos^{2} γ \end{matrix}

(1)

A'' B'' C

háromszögből:

\begin{matrix} {\bar{A'' B''}}^{2} = c''^{2} = {\bar{A'' C'}}^{2} + {\bar{B'' C}}^{2} - 2 \bar{A'' C} \cdot B'' C cos γ . \end{matrix}

De minthogy

\begin{matrix} A'' C = A' B = c cos β \end{matrix}

és

\begin{matrix} B'' C = B' A = c cos α, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} c''^{2} = c^{2} (cos^{2} β + cos^{2} α - 2 cos α cos β cos γ \end{matrix}

(2)

(1) és (2) alapján

\begin{matrix} \frac{5 c'^{2} - c''^{2}}{c^{2}} = 5 cos^{2} γ - c o s^{2} β - c o s^{2} α + 2 cos α cos β cos γ . \end{matrix}

Épp így kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{5 b'^{2} - b''^{2}}{b^{2}} = 5 cos^{2} β - c o s^{2} α - c o s^{2} γ + 2 cos α cos β cos γ . \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{5 a'^{2} - a''^{2}}{a^{2}} = 5 cos^{2} α - c o s^{2} γ - c o s^{2} β + 2 cos α cos β cos γ . \end{matrix}

az utóbbi három egyenletet összeadva, nyerjük:

\begin{matrix} \frac{5 c'^{2} - c''^{2}}{c^{2}} + \frac{5 b'^{2} - b''^{2}}{b^{2}} + \frac{5 a'^{2} - a''^{2}}{a^{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 (cos^{2} α + c o s^{2} β + c o s^{2} γ) + 6 cos α cos β cos γ . \end{matrix}

De a 371. feladat értelmében

\begin{matrix} cos^{2} α + c o s^{2} β + c o s^{2} γ = 1 - 2 cos α cos β cos γ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} \frac{5 c'^{2} - c''^{2}}{c^{2}} + \frac{5 b'^{2} - b''^{2}}{b^{2}} + \frac{5 a'^{2} - a''^{2}}{a^{2}} = 3. \end{matrix}

(Friedmann Bernát.)

A feladatot még megoldotta: Szabó Károly.