Kezdőlap


Feladat:	366. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dénes A. , Freibauer E. , Friedmann B. , Goldziher Károly , Kármán Tódor , Posgay B. , Szabó I. , Szabó K. , Weisz Á.
Füzet:	1897/november, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 366. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a háromszög befogói $a$ és $b$ , az átfogó $c$ , akkor

\begin{matrix} a + b = p, \end{matrix}

(1)

tehát

\begin{matrix} a^{2} + 2 a b + b^{2} = p^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} a b = m c \end{matrix}

(2)

s így

\begin{matrix} c^{2} + 2 m c = p^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} c = - m + \sqrt[]{m^{2} + p^{2}} \end{matrix}

(3)

(1) és (2) alapján

a

és

b

a következő egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x^{2} - p x + m c = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x_{1} = a = \frac{p + \sqrt[]{p^{2} - 4 m c}}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} x_{2} = b = \frac{p - \sqrt[]{p^{2} - 4 m c}}{2} . \end{matrix}

Szerkesztés. (3) alapján megszerkesztjük

c

-t: szerkesztünk egy derékszögű háromszöget, melynek befogói

m

és

p

; e háromszög átfogójából levonjuk

m

-et, a maradék

c

. Ezután

c

fölé félkört rajzolunk;

c

-nek egy tetszésszerinti pontjában merőlegest emelünk s erre rámérjük

m

-et;

m

-nek végpontján át

c

-vel párhuzamost rajzolunk, mely a félkört két pontban metszi; e pontokat

c

-nek végpontjaival összekötve, két háromszöget kapunk, melyek a feladat követelményeinek eleget tesznek.

(Goldziher Károly és Kármán Tódor.)

A feladatot még megoldották: Dénes A., Freibauer E., Friedmann B., Posgay B., Szabó I., Szabó K., Weisz Á.