Kezdőlap


Feladat:	365. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Spitzer Ödön , Szabó István
Füzet:	1897/november, 51 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Kör geometriája, Pont körre vonatkozó hatványa, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 365. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen az adott kör középpontja $O$ , a kérdéses szelő $A B C$ , az $A$ pontból a körhöz húzott érintő $A D$ . Ismeretes, hogy

\begin{matrix} {\bar{A D}}^{2} = A B \cdot A C \end{matrix}

\begin{matrix} A C = 2 \cdot A B \end{matrix}

s így

\begin{matrix} {\bar{A D}}^{2} = 2 {\bar{A B}}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} A B = \frac{A D}{\sqrt[]{2}} = A D \cdot cos 45^{\circ} . \end{matrix}

Ennélfogva szerkesztünk egy egyenlőszárú derékszögű háromszöget, melynek átfogója egyenlő az

A

pontból a körhöz húzott érintő hosszúságával,

A D

-vel. E háromszög befogójával, mint sugárral

A

pontból kört rajzolunk, mely az eredeti kört

B

és

B'

pontokban metszi.

A

pontot

B

-vel és

B'

-vel összekötve, megkapjuk a keresett szelőket.

(Szabó István, Debreczen.)

II. Megoldás.

A O

-t megfelezzük; a felezési pontból,

E

-ből, a megadott kör sugarának felével körívet írunk le, mely a kört

B

és

B'

pontokban metszi.

A B C

és

A B' C'

a keresett szelők.
Bizonyítás.

A B E ▵ \sim A C O ▵

, mert az

A

szög mindkét háromszögben közös, továbbá:

A O = 2 A E

és

O C = 2 E B

. Így tehát következik, hogy

A C = 2 A B

(Spitzer Ödön.)

A feladatot még megoldották: Dénes A., Friedmann B., Goldziher K. és Kármán T., Manheim E., Misángyi V., Petrogalli G., Posgay B., Schiffer H., Weisz Á., Weisz J.