Kezdőlap


Feladat:	363. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dénes Aladár , Friedmann Bernát , Szabó Károly
Füzet:	1897/október, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Húrnégyszögek, Körülírt kör, Beírt kör, Körülírt kör középpontja, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 363. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C$ háromszög oldalainak középpontjai $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ , a háromszög köré írható kör középpontja $O$ ; továbbá $O A_{1} = x, O B_{1} = y, O C_{1} = z$ ; a háromszög köré írható kör sugara $r$ , az oldalakat érintő kör sugara $ρ$ . Az $A B_{1} O C_{1}, B A_{1} O C_{1}$ és $C B_{1} O A_{1}$ négyszögek húrnégyszögek s így alkalmazhatjuk a Ptolemaeus-féle tételt, melynek értelmében a húrnégyszögben az átlók szorzata egyenlő az ellenoldalak szrozatainak összegével. E tételt a három húrnégyszögre alkalmazva s tekintetbe véve, hogy $B_{1} C_{1} = \frac{a}{2}, C_{1} A_{1} = \frac{b}{2}, A_{1} B_{1} = \frac{c}{2},$ a következő egyenleteket kapjuk:

\begin{matrix} \frac{a r}{2} = \frac{b z}{2} + \frac{c y}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{b r}{2} = \frac{c x}{2} + \frac{a z}{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{c r}{2} = \frac{a y}{2} + \frac{b x}{2} . \end{matrix}

E három egyenletet összeadva:

\begin{matrix} r (a + b + c) = x (b + c) + y (a + c) + z (a + b) \end{matrix}

(1)

A háromszög területét kétféleképpen kifejezve:

\begin{matrix} ρ (a + b + c) = a x + b y + c z \end{matrix}

(2)

(1)-et és (2)-t összeadva s mindkét oldalon

(a + b + c)

-vel osztva:

\begin{matrix} r + p = x + y + z \end{matrix}

(Szabó Károly, Győr.)

A feladatot még megoldották: Dénes Aladár és Friedmann Bernát.