Feladat:	361. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Brandt D. ,  Dénes A. ,  Erdős A. ,  Friedmann Bernát ,  Goldziher K. ,  Kármán T. ,  Manheim E. ,  Porde Gy. ,  Spitzer Ö. ,  Szabó I. ,  Szabó K.
Füzet:	1897/november, 49. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Abszolútértékes függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 361. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-mx-1=0}\end{array}$ (1) $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+mx-1=0}\end{array}$ (2) Minthogy a két egyenletben negatív az absolut tag, azért mindkét egyenletnek külömböző jelű valós gyökei vannak; $a$ és $c$ positívok, $b$ és $d$ negatívok. Minthogy továbbá (1)-ben $x$-nek az együtthatója negatív, azért a positív gyök nagyobb mint a negatív gyök absolut értéke, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle \mid a\mid >\mid b\mid \mathrm{.}}\end{array}$ (3) De két oly másodfokú egyenletnek, melyek csak az elsőfokú ismeretlen előjelében különböznek, gyökei szintén csak az előjelben külömböznek s így $\begin{array}{c}{\displaystyle \mid a\mid =\mid d\mid }\end{array}$ (4) és $\begin{array}{c}{\displaystyle \mid b\mid =\mid c\mid }\end{array}$ (5) (4)-et és (5)-öt (3)-ba téve: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mid d\mid >\mid b\mid }\end{array}$ (6) $\begin{array}{c}{\displaystyle \mid a\mid >\mid c\mid \mathrm{.}}\end{array}$ (7) Mivel úgy $b$, mint $d$, negatív, (6)-ból következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \mid d\mid <\mid b\mid }\end{array}$ (8) és mivel úgy $a$ mint $c$ positív, (7)-ből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \mid a\mid >\mid c\mid }\end{array}$ (9) (8)-ból és (9)-ből következik, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \mid a\mid >\mid c\mid >\mid b\mid >\mid d\mid \mathrm{.}}\end{array}$   (Friedmann Bernát).   A feladatot még megoldották: Brandt D., Dénes A., Erdős A., Goldziher K. és Kármán T., Manheim E., Prode Gy., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K.