Kezdőlap


Feladat:	358. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dénes A. , Devecis M. , Erdős Aurél , Friedmann B. , Goldziher K. , Kármán T. , Kertész L. , Manheim E. , Petrogalli G. , Schiffer H. , Spitzer Ö. , Szabó K. , Weisz J.
Füzet:	1897/október, 32. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Prímtényezős felbontás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/június: 358. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott kifejezés osztható $3$ -mal, mert három egymásra következő szám szorzata. Ha $a$ páros szám, akkor $a^{2}$ osztható $4$ -gyel; ha $a$ páratlan, úgy

\begin{matrix} a^{2} - 1 = (a + 1) (a - 1) \end{matrix}

mint két páros szám szorzata, osztható

4

-gyel.
Ha

a = 5 b

alakú, úgy

a^{2}

osztható

5

-tel; ha

a

nem többszöröse

5

-nek, úgy vagy

5 b \pm 1

, vagy

5 b \pm 2

alakú. Első esetben

\begin{matrix} a^{2} - 1 = 25 b^{2} \pm 10 b \end{matrix}

osztható

5

-tel. Második esetben

\begin{matrix} a^{2} + 1 = 25 b^{2} \pm 20 b + 5 \end{matrix}

osztható

5

-tel.
Minthogy tehát a megadott kifejezés osztható

3

-mal,

4

-gyel és

5

-tel, azért

60

-nal is osztható.

(Erdős Aurél, Sopron.)

A feladatot még megoldották: Dénes A., Devecis M., Friedmann B., Goldziher K. és Kármán T., Kertész L., Manheim E., Petrogalli G., Schiffer H., Spitzer Ö., Szabó K., Weisz J.