Kezdőlap


Feladat:	356. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck F. , Devecis Mihály , Friedmann B. , Goldziher Károly , Kármán T. , Kornis Ö. , Schiffer H. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K.
Füzet:	1897/október, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Síkgeometriai szerkesztések, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Középponti és kerületi szögek, Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 356. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Legyen $B$ a coordináta rendszer kezdőpontja s $C$ a keresett mértani hely egy pontja. A feladat értelmében:

\begin{matrix} {\bar{A C}}^{2} = {(a + x)}^{2} + y^{2} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} {\bar{A C}}^{2} = A B \cdot A D = a (a + x - y cot α) \end{matrix}

(2)

(1)-ből és (2)-ből tehát:

\begin{matrix} a^{2} + a x - a y cot α = a^{2} + 2 a x + x^{2} + y^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} + a x + y^{2} + a y cot α = 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(x + \frac{a}{2})}^{2} + {(y + \frac{a}{2} cot α)}^{2} = \frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{4} cot^{2} α \end{matrix}

\begin{matrix} {(x + \frac{a}{2})}^{2} + {(y + \frac{a}{2} cot α)}^{2} = \frac{a^{2}}{4} (1 + cot^{2} α) . \end{matrix}

Látjuk, hogy a keresett mértani hely csakugyan kör, melynek középpontja az

A B

egyenes középpontjában emelt merőlegesen van, s melynek sugara

\begin{matrix} r = \frac{a}{2} \sqrt[]{1 + cot^{2} α} = \frac{a}{2} cos α = \frac{a}{2 sin α} . \end{matrix}

(3)

(Goldziher Károly.)

Ennek alapján a szerkesztés a következő: Minthogy (3)-ból látjuk, hogy az

A B

húrhoz tartozó középponti szög

2 α

, azért

A B

-nek középpontjában merőlegest emelünk s ennek egy tetszésszerinti pontjában lemásoljuk a megadott

α

szöget. Ezután

B

ponton át

α

-nak egyik szárával párhuzamost rajzolunk, mely a merőlegest a keresett kör középpontjában metszi.

(Friedmann Bernát.)

Második megoldás.

A B

egyenesnek egy tetszésszerinti

D

pontjában merőlegest emelünk, mely az

A B

fölé rajzolt félkört

K

-ban metszi.

D

-ben

A D

mellé lemásoljuk az

α

szöget; ezután

A

-ból

A K

sugárral körívet rajzolunk, mely az

α

szög másik szárát

C

-ben metszi.

A, B

és

C

pontok meghatározzák a keresett kört.

Bizonyítás.

A K = A C

;

A K B

derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} {\bar{A K}}^{2} = A D \cdot A B \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} {\bar{A C}}^{2} = A D \cdot A B \end{matrix}

és a szerkesztés értelmében:

\begin{matrix} C D A ∢ = α . \end{matrix}

(Devecis Mihály.)

A feladatot még megoldották: Beck F., Kármán T., Kornis Ö., Schiffer H., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K.