Kezdőlap


Feladat:	355. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Devecis M. , Fekete J. , Friedmann B. , Kornis Ö. , Roth M. , Spitzer Ö. , Weisz J.
Füzet:	1897/október, 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetek, Köréírt alakzatok, Középponti és kerületi szögek, Thalesz-kör, Háromszögek egybevágósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 355. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. Az $A B C D$ négyzet $A B$ és $A D$ oldalai fölé félköröket rajzolunk. Az $A B$ ívet megfelezve, kapjuk $E$ pontot, melyből $E A$ sugárral kört rajzolunk. Ezután körzőnyílásba vesszük a nagyobbik négyzet $b$ oldalát s $A$ pontból körívet rajzolunk, mely az $E A$ sugárral rajzolt kört $F$ pontban metszi. $A F$ az $A B$ és $A D$ fölé rajzolt félköröket $G$ és $H$ pontokban metszi. $C$ ponton át $H G$ -vel párhuzamost rajzolunk, mely a $G B$ és $H D$ egyeneseket $L$ és $M$ pontokban metszi. $H G L M$ az $A B C D$ négyzet köré írt négyzet.

Bizonyítás.

A G B ∢ = 90^{\circ}, A F B ∢ = 45^{\circ},

tehát

G F = G B

és

A G + G B = b . A G B ▵ ≅ D H A ▵

, mert

A B = A D = a

és

G A B ∢ = H D A ∢

, tehát

A H = G B

s így

A G + G B = A G + A H = H G = b

.
A feladat csak akkor oldható meg, ha 1)

b > a

és 2)

b ≦ 2 A E = a \sqrt[]{2}

Második megoldás. A kisebbik négyzet

A B

és

A D

oldalai, mint átmérők fölé köröket rajzolunk.

A

ponton át a 354. feladat alapján szelőt rajzolunk,mely a nagyobbik négyzet egyik oldalával,

b

-vel egyenlő.

Harmadik megoldás. A nagyobbik négyzet középpontjából a kisebbik négyzet fél átlójával kört rajzolunk. A metszési pontok adják a kisebbik négyzet csúcsait. Ha

a > \frac{b}{2} \sqrt[]{2}

, a kör két pontban metszi a nagyobbik négyzet mindegyik oldalát; akkor tehát két megoldást kapunk. Ha

a = \frac{b}{2} \sqrt[]{2}

, a kör érinti a négyzet oldalait, tehát csak egy megoldást kapunk; ha

a < \frac{b}{2} \sqrt[]{2}

, akkor a feladatnak nincs megoldása.

A feladatot megoldották: Devecis M., Fekete J., Friedmann B., Kornis Ö., Roth M., Spitzer Ö., Weisz J.