Kezdőlap


Feladat:	354. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Devecis M. , Friedmann B. , Kornis Ö. , Roth M. , Spitzer Ödön , Szabó K.
Füzet:	1897/október, 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Síkgeometriai szerkesztések, Kör geometriája, Derékszögű háromszögek geometriája, Thalesz-kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 354. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Bocsássuk a megadott körök $C_{1}$ és $C_{2}$ középpontjaiból az $A B = m$ szelőre a $C_{1} D$ és $C_{2} E$ merőlegeseket. Rajzoljuk meg $C_{1}$ -ből a $C_{2} E$ -re merőlegesen álló $C_{1} H$ -t. Ha $A B$ szelő a két kört $M$ pontban metszi, akkor

\begin{matrix} D M = A D \end{matrix}

mert a kör középpontjából a húrra bocsátott merőleges felezi a húrt. Ennélfogva

\begin{matrix} D M = E M = D E = C_{1} H = \frac{m}{2} . \end{matrix}

C_{1} C_{2} H

derékszögű háromszögből ismerjük tehát a

C_{1} H = \frac{m}{2}

befogót és a

C_{1} C_{2}

átfogót. A szerkesztés ennélfogva a következő: A körök középpontjait összekötve, kapjuk a

C_{1} C_{2}

centrálist.

C_{1} C_{2}

fölé félkört rajzolunk és

C_{1}

-ből

\frac{m}{2}

sugárral körívet írunk le, mely a segédkört

H

-ban metszi.

C_{1} H

-val

M

ponton át párhuzamost rajzolva, megkapjuk az

A B = m

szelőt.
A feladat csak akkor lehetséges, ha

\frac{m}{2} - C_{1} H < C_{1} C_{2}

(Spitzer Ödön.)

Jegyzet. Evvel kapcsolatban könnyen megoldhatjuk a következő feladatot: Két körnek egyik metszéspontján át húzzunk egy szelőt úgy, hogy a szelőből elvágott húrok összege a lehető legnagyobb legyen.
Az elvágott húrok összege akkor lesz a legnagyobb, ha

M

ponton át

C_{1} C_{2}

centrálissal párhuzamost húzunk. A

C_{1}

és

C_{2}

pontokból a szelőre húzott merőlegesek, mint azt láttuk, az egész

A B

szelő felét,

D E

-t, foglalják maguk közé. De

D E

az előbbeni feladatban egyenlő

C_{1} H

-val, az utóbbi feladatot a centrálissal párhuzamosan rajzolt szelő oldja meg.

A feladatot még megoldották: Devecis M., Friedmann B., Kornis Ö., Roth M., Szabó K.