Feladat:	353. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Beck Ferencz ,  Friedmann Bernát ,  Szabó István ,  Szabó Károly
Füzet:	1897/október, 35 - 37. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Téglalapok, Kör egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 353. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Ha a $CD$ húr $E$ középpontjának távolságát a kör középpontjától $x$-szel, $CE$-t $y$-nal, és a négyszög területét $t$-vel, a kör sugarát $r$-rel jelöljük, úgy $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+y^2=r^2}\end{array}$ (1) $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x+r\right)y=\frac{t}{2}}\end{array}$ (2) (2)-nek mindkét oldalát négyzetre emelve: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+r\right)}^2{y}^2=\frac{t^2}{4}}\end{array}$ (3) (3)-ba $y^2$-nek értékét 1)-ből helyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(x+r\right)}^2\left(r^2-x^2\right)=\frac{t^2}{4}}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(r+x\right)\left(r+x\right)\left(r+x\right)\left(r-x\right)=\frac{t^2}{4}}\end{array}$ (4) vagy az egyenlet mindkét oldalát $3$-mal megszorozva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(r+x\right)\left(r+x\right)\left(r+x\right)\left(3r-3x\right)=\frac{3t^2}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ De az egyenlet bal oldalán álló tényezők összege $\left(6r\right)$ egy állandó szám, miért is a négyszög területe akkor lesz a lehető legnagyobb, ha a tényezők egyenlők (lásd: jegyzet); $t$ tehát akkor maximum, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle 3r-3x=r+x}\end{array}$ vagyis ha: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{r}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ E szerint a legnagyobb területű négyszög $CD$ oldalát megkapjuk, ha egy tetszésszerinti $OP$ sugárnak középpontjában merőleges húrt emelünk; a négyszög $AB$ oldalát megkapjuk, ha az $OP$ sugarat a kör középpontján túl a kör kerületéig meghosszabbítjuk s az így nyert pontban érintőt szerkesztünk.   Jegyzet. Ha az állandó $k$ számot külömbözőképpen bontjuk fel positív összeadandókra, úgy ezen összeadandók szorzata akkor a legnagyobb, ha azok egyenlők. E tételt csak azon esetre bizonyítjuk be, ha a $k$ számot négy részre bontjuk fel. Legyenek a részek, melyeknek összege $k\mathrm{,}x\mathrm{,}y\mathrm{,}u\mathrm{,}v\mathrm{.}$ Kimutatjuk, hogy ha $\begin{array}{c}{\displaystyle x_1+y_1+u_1+v_1=k}\end{array}$ (1) s pl. $x_1$ nem egyenlő $y_1$-gyel, úgy az $x_1{y}_1{u}_1{v}_1$ szorzat nem lehet az $xyuv$ szorzatnak legnagyobb értéke. Legyenek e végből a $k$ szám részei: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x_1+y_1}{2}\mathrm{,}\frac{x_1+y_1}{2}\mathrm{,}{u}_1\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}}\end{array}$ úgy az (1) alatti feltétel mellett: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x_1+y_1}{2}+\frac{x_1+y_1}{2}+u_1+v_1=k}\end{array}$ de ismeretes, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x_1+y_1}{2}\cdot \frac{x_1+y_1}{2}>x_1{y}_1}\end{array}$ s így: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x_1+y_1}{2}\cdot \frac{x_1+y_1}{2}{u}_1{v}_1>x_1{y}_1{u}_1{v}_1\mathrm{.}}\end{array}$ Látjuk, hogy a szorzat nem lehet maximum, ha a tényezők nem egyenlők.   A feladatot megoldották: Beck Ferencz, Friedmann Bernát, Szabó István, Szabó Károly.