Kezdőlap


Feladat:	352. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Devecis M. , Friedmann Bernát , Szabó I.
Füzet:	1897/október, 34 - 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömbi geometria, Térfogat, Szögfüggvények a térben, Gömb és részei, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 352. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az elmetszett gömbszelet magassága $x$ . A feladat értelmében a gömbszelet térfogata fele a félgömb térfogatának, vagyis

\begin{matrix} \frac{π x^{2}}{3} (3 r - x) = \frac{π}{3} r^{3} . \end{matrix}

(1)

Ha az egyenletet rendezzük s tekintetbe vesszük, hogy

r = 1

, úgy

\begin{matrix} x^{3} - 3 x^{2} + 1 = 0 . \end{matrix}

(2)

Tegyük, hogy

x = y + 1

, úgy (2)-ből a következő egyenletet nyerjük:

\begin{matrix} y^{3} - 3 y - 1 = 0 . \end{matrix}

(3)

Minthogy jelen esetben ^{$^{*}$}

\begin{matrix} {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{3}{3})}^{3} = - \frac{3}{4} < 0, \end{matrix}

tehát az egyenlet gyökei valósak és a következő értékűek:

\begin{matrix} y_{1} = 2 cos \frac{α}{3} = 2 cos 20^{\circ} \end{matrix}

\begin{matrix} y_{2} = 2 cos 140^{\circ} = - 2 cos 40^{\circ} \end{matrix}

\begin{matrix} y_{3} = 2 cos 260^{\circ} = - 2 cos 80^{\circ} . \end{matrix}

Ámde szükséges, hogy

1 < x < 1

legyen s ezért a feladatnak csak az

y_{3} = 2 cos 80^{\circ} = - 0,3473

érték felel meg, a mikor:

\begin{matrix} x = y + 1 = 0,6527. \end{matrix}

Az elmetszett gömbszelet magassága tehát

0,6527

, a gömbkorongé

0,3473

(Friedmann Bernát.)

A feladatot még megoldották: Devecis Mihály és Szabó István.

^{$^{*}$}A harmadfokú egyenletek elméletéből ismeretes, hogy ha

\begin{matrix} x^{3} + a x + b = 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} {(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{a}{3})}^{3} ≦ 0, \end{matrix}

úgy az egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x_{1} = 2 \sqrt[]{- \frac{a}{3}} cos α, x_{2} = 2 \sqrt[]{- \frac{a}{3}} cos (\frac{α}{3} + 120^{\circ}), \end{matrix}

\begin{matrix} x_{3} = 2 \sqrt[]{- \frac{a}{3}} cos (\frac{α}{3} + 240^{\circ}), \end{matrix}

hol

\begin{matrix} cos α = \frac{- \frac{b}{2}}{{(\sqrt[]{- \frac{a}{3}})}^{3}} . \end{matrix}