Kezdőlap


Feladat:	351. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna D. , Beck F. , Bojedain F. , Devecis M. , Freibauer E. , Friedmann Bernát , Goldziher K. , Gross N. , Kántor B. , Kántor N. , Kármán T. , Kornis Ö. , Krátky Gy. , Petrogalli G. , Roth M. , Schiffer H. , Schwartz E. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K. , Weisz J.
Füzet:	1897/szeptember, 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Trigonometriai azonosságok, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 351. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $a$ és $b$ oldalak $γ$ szöget zárnak be, úgy a háromszög területe:

\begin{matrix} t = \frac{a b}{2} sin γ . \end{matrix}

(1)

De másrészt a háromszög területe a két rész területeinek összegével egyenlő, azaz

\begin{matrix} t = \frac{a v}{2} sin \frac{γ}{2} + \frac{b v}{2} sin \frac{γ}{2} \end{matrix}

(2)

tehát

\begin{matrix} \frac{a b}{2} sin γ = \frac{v}{2} (a + b) sin \frac{γ}{2} \end{matrix}

(3)

miből

\begin{matrix} cos \frac{γ}{2} = \frac{a + b}{2 a b} v . \end{matrix}

(4)

Ismeretes, hogy

1 + cos γ = 2 cos^{2} \frac{γ}{2}

, mibe (4)-ből

cos \frac{γ}{2}

értékét helyettesítve, nyerjük, hogy:

\begin{matrix} cos γ = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 a^{2} b^{2}} v^{2} - 1 \end{matrix}

(5)

másrészt pedig a cosinus-tétel alapján

\begin{matrix} cos γ = \frac{2 a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \end{matrix}

(6)

s így (5)-ből és (6)-ból

\begin{matrix} \frac{v^{2} {(a + b)}^{2}}{2 a^{2} b^{2}} - 1 = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{v^{2} {(a + b)}^{2}}{a b} = {(a + b)}^{2} - c^{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} c^{2} = {(a + b)}^{2} \frac{a b - v^{2}}{a b} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} c = (a + b) \sqrt[]{\frac{a b - v^{2}}{a b}} \end{matrix}

(Friedmann Bernát.)

A feladatot még megoldották: Barna D., Beck F., Bojedain F., Devecis M., Freibauer E., Goldziher K., Gross N., Kántor B., Kántor N., Kármán T., Kornis Ö., Krátky Gy., Petrogalli G., Roth M., Schiffer H., Schwartz E., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Weisz J.