Kezdőlap


Feladat:	348. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Devecis M. , Friedmann B. , Kornis Ö. , Preisz Károly , Roth M. , Spitzer Ö. , Szabó K.
Füzet:	1897/szeptember, 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feuerbach-kör, Paralelogrammák, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Körülírt kör, Beírt kör, Beírt háromszög, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 348. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az $A B C$ háromszög magasságainak talppontjai $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ; az oldalak középpontjai $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ ; a magasságoknak a háromszög csúcsai felé eső részeinek középpontjai

\begin{matrix} D, E, F . \end{matrix}

E B_{1} B_{2}

kerületi szög derékszög s így

E B_{2}

a Feuerbach-féle kör átmérője, miért is

B_{2}, O_{2}

és

E

pontok egy egyenesen feküsznek.

B_{2} O_{1} ∥ E O_{3}

, mert mindkettő merőleges

A C

-re.

B O_{3} A_{1}

háromszögből

B O_{3} = \frac{B A_{1}}{sin C} = \frac{c cos B}{sin C} = 2 R cos B

, ha

R

az eredeti háromszög köré írható kör sugara; tehát

E O_{3} = \frac{B O_{3}}{2} = R cos B

. De

O_{1} B_{2} C

háromszögből ‐ melyben, miután

C O_{1} ⊥ A_{1} B_{1}

, (lásd IV. évf., 305. feladat) és

A_{1} B_{1} C ∢ = B ∢

O_{1} C B_{2} ∢ = 90^{\circ} - B ∢

‐

B_{2} O_{1} = R cos B

s így

E O_{3} = B_{2} O_{1}

. Minthogy pedig ezek szerint

B_{2} O_{1}

párhuzamos és egyenlő

E O_{3}

-mal, következik, hogy

O_{1} E O_{3} B_{2}

négyszög egyenközény s így az

E B_{2}

és

O_{1} O_{3}

átlók egymást

O_{2}

pontban felezik.

(Preisz Károly.)

A feladatot még megoldották: Devecis M., Friedmann B., Kornis Ö., Roth M., Spitzer Ö., Szabó K.