Kezdőlap


Feladat:	347. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Friedmann Bernát , Grosz Andor , Kántor N. , Kornis Ö. , Riesz F. , Spitzer Ö.
Füzet:	1897/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ceva-tétel, Menelaosz-tétel, Párhuzamos szelők tétele, Beírt kör, Körülírt kör, Szögfelező egyenes, Háromszögek egybevágósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 347. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Első megoldás. $1 .^{\circ}$ Ismeretes, hogy a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, mely pont a háromszögbe írható kör középpontja, $O$ . Ha e pontból a háromszög oldalaira merőlegeseket bocsátunk, kapjuk az $A_{1}, B_{1}$ és $C_{1}$ pontokat.
$A O B_{1}$ és $A O C_{1}$ háromszögek egybevágók, mert $A O$ oldal közös, $O A B_{1} ∢ = O A C_{1} ∢ = \frac{1}{2} C A B ∢$ és $A B_{1} O ∢ = A C_{1} O ∢ = 90^{\circ}$ . Ennélfogva $A B_{1} = A C_{1}$ ; épp így kimutatható, hogy $B C_{1} = B A_{1}$ és $C A_{1} = C B_{1}$ . Ha e három egyenletet egymással megszorozzuk, kapjuk, hogy:

\begin{matrix} A B_{1} \cdot B C_{1} \cdot C A_{1} = A C_{1} \cdot B A_{1} \cdot C B_{1}, \end{matrix}

mely egyenlet a Ceva-féle tétel (K.M.L.II. évf., 94. l.) szerint kriteriuma annak, hogy az

A A_{1}, B B_{1}

és

C C_{1}

egyenesek egy

M

pontban metszik egymást.

A B_{1} = A C_{1}

és

B A_{1} = B C_{1}

, tehát

A B_{1} + B A_{1} = A C_{1} + B C_{1} = c

s így

C A_{1} + C B_{1} = 2 s - 2 c

, vagy

C A_{1} = C B_{1} = s - c

és hasonlóképpen

A B_{1} = A C_{1} = s - a

B C_{1} = B A_{1} = s - b

2 .^{\circ}

Vonjunk

A

-n keresztül

B B_{1}

párhuzamost, mely

C C_{1}

-et

D

-ben metszi.

A D ∥ B_{1} M

s így:

\begin{matrix} M D : M C = A B_{1} : C B_{1} \end{matrix}

(1)

A C_{1} D

és

B C_{1} M

háromszögek hasonlóságából következik, hogy:

\begin{matrix} M C_{1} : M D = B C_{1} : B A \end{matrix}

(2)

E két aránylat megfelelő tagjait egymással megszorozva:

\begin{matrix} M C_{1} : M C = A B_{1} \cdot B C_{1} : C B_{1} \cdot B A \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{M C_{1}}{M C} = \frac{(s - b) (s - a)}{(s - c) c} \end{matrix}

ha még tekintetbe vesszük, hogy a két távolság ellenkező irányú, úgy hányadosuk negatív s így.

\begin{matrix} \frac{M C_{1}}{M C} = - \frac{(s - b) (s - a)}{c (s - c)} . \end{matrix}

(3 )

Hasonlóképpen kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{M B_{1}}{M B} = - \frac{(s - a) (s - c)}{b (s - b)} \end{matrix}

(4 )

\begin{matrix} \frac{M A_{1}}{M A} = - \frac{(s - b) (s - c)}{a (s - a)} \end{matrix}

(5 )

A (3), (4) és (5) alatti egyenleteket egymással szorozva, kapjuk, hogy.

\begin{matrix} \frac{M A_{1}}{M A} \cdot \frac{M B_{1}}{M B} \cdot \frac{M C_{1}}{M C} = - \frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{a b c} \end{matrix}

\begin{matrix} = - \frac{\frac{t^{2}}{s}}{a b c} = - \frac{\frac{t}{s}}{\frac{a b c}{t}} = - \frac{r}{4 R} . \end{matrix}

(Friedmann Bernát.)

Második megoldás.

1 .^{\circ}

A Ceva-féle tétel alapján:

\begin{matrix} \frac{C_{1} A}{C_{1} B} \cdot \frac{A_{1} B}{A_{1} C} \cdot \frac{B_{1} C}{B_{1} A} = - \frac{(s - a) (s - b) (s - c)}{(s - a) (s - b) (s - c)} - 1 \end{matrix}

(1)

2 .^{\circ}

B B_{1}

által metszett

A A_{1} C

háromszögre a Menelaos-féle tételt (M.L.IV. évf., 148. l.) alkalmazva:

\begin{matrix} \frac{M A_{1}}{M A} \cdot \frac{B_{1} A}{B_{1} C} \cdot \frac{B C}{B A_{1}} = 1. \end{matrix}

(2)

Hasonlóképp a

C C_{1}

által metszett

B B_{1} A

háromszögből:

\begin{matrix} \frac{M B_{1}}{M B} \cdot \frac{C_{1} B}{C_{1} A} \cdot \frac{C A}{C B_{1}} = 1 \end{matrix}

(3)

végül az

A A_{1}

által metszett

C C_{1} B

háromszögből

\begin{matrix} \frac{M C_{1}}{M C} \cdot \frac{A_{1} B}{A_{1} B} \cdot \frac{A B}{A C_{1}} = 1. \end{matrix}

(4)

E négy egyenletet egymással megszorozva:

\begin{matrix} \frac{M A_{1}}{M A} \cdot \frac{M B_{1}}{M B} \cdot \frac{M C_{1}}{M C} = - \frac{B A_{1}}{B C} \cdot \frac{C B_{1}}{C A} \cdot \frac{A C_{1}}{A B} = - \frac{(s - b) (s - c) (s - a)}{a b c} = - \frac{r}{4 R} . \end{matrix}

(Grosz Andor, bölcsészet hallgató.)

A feladatot még megoldották: Kántor N., Kornis Ö., Riesz F., Spitzer Ö.