Feladat:	345. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck F. ,  Brandt D. ,  Devecis M. ,  Fekete J. ,  Freibauer E. ,  Friedmann B. ,  Goldziher K. ,  Kántor N. ,  Kárf J. ,  Kornis Ö. ,  Manheim E. ,  Petrogalli G. ,  Pollák Simon ,  Prakatur T. ,  Roth M. ,  Schiffer H. ,  Schwartz E. ,  Spitzer Ö. ,  Szabó I. ,  Szabó K. ,  Weisz J.
Füzet:	1897/szeptember, 16. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Köbszámok összege, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/április: 345. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle 1^4=1}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^4={\left(1+1\right)}^4=1^4+4\cdot 1^3+6\cdot 1^2+4\cdot 1+1}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 3^4={\left(2+1\right)}^4=2^4+4\cdot 2^3+6\cdot 2^2+4\cdot 2+1}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle 4^4={\left(3+1\right)}^4=3^4+4\cdot 4^3+6\cdot 3^2+4\cdot 3+1}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{...}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{...}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(n+1\right)}^4=n^4+4\cdot n^3+6\cdot n^2+4\cdot n+1.}\end{array}$ Adjuk össze az egymás alatt álló tagokat s vonjuk ki mindkét oldalból $\begin{array}{c}{\displaystyle 1^4+2^4+3^4+\text{...}+n^4}\end{array}$ összeget, úgy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(n+1\right)}^4=4\left(1^3+2^3+3^3+\text{...}+n^3\right)+6\left(1^2+2^2+3^2+\text{...}+n^2\right)+}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle +4\left(1+2+3+\text{...}+n\right)+n+\mathrm{1,}}\end{array}$ miből $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\left(1^3+2^3+3^3+\text{...}+n^3\right)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-6\frac{2n^3+3n^2+n}{6}-4\frac{n\left(n+1\right)}{2}-n-1}\end{array}$ vagy $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\left(1^3+2^3+3^3+\text{...}+n^3\right)=n^4+2n^3+n^2=n^2{\left(n+1\right)}^2}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\text{...}+n^3)=\frac{n^2}{4}{\left(n+1\right)}^2={\left[\frac{n}{2}\left(n+1\right)\right]}^2={\left(1+2+3+\text{...}+n\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$   (Pollák Simon, Nyitra.)   A feladatot még megoldották: Beck F., Brandt D., Devecis M., Fekete J., Freibauer E., Friedmann B., Goldziher K., Gross N., Kántor N., Kárf J., Kornis Ö., Manheim E., Petrogalli G., Prakatur T., Roth M., Schiffer H., Schwartz E., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Weisz J.