Feladat:	342. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Devecis M. ,  Frankl I. ,  Friedmann Bernát ,  Goldstein Zs. ,  Goldziher K. ,  Hofbauer E. ,  Kántor N. ,  Kárrmán T. ,  Petrogalli G. ,  Spitzer Ö. ,  Szigeth Gábor
Füzet:	1897/június, 166. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Logaritmusos egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/március: 342. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}\text{log}\left(ax+by\right)+\text{log}\left(ax-by\right)=\frac{1}{2}\left[\text{log}\left(\sqrt[]{ax}+\sqrt[]{by}\right)+\text{log}\left(\sqrt[]{ax}-\sqrt[]{by}\right)\right]}\end{array}$ (1) $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}x-\text{log}a=\text{log}y-\text{log}b}\end{array}$ (2) A megadott egyenletek még így is írhatók: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{ax+by}\cdot \left(ax-by\right)=\sqrt[]{ax-by}}\end{array}$ (3) $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x}{a}=\frac{y}{b}}\end{array}$ (4) (3)-nak mindkét oldalát hatodik hatványra emelve: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(ax+by\right)}^2{\left(ax-by\right)}^6={\left(ax-by\right)}^3}\end{array}$ (5) Ezen egyenletet kielégíti: $\begin{array}{c}{\displaystyle ax=by}\end{array}$ (6) Összekapcsolva ezen egyenletet (4)-gyel, kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=y=0\text{<span style="font-style: italic;">és</span>}x=y=\infty }\end{array}$ (5)-ből továbbá még kapjuk, hogy: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(ax+by\right)}^2{\left(ax-by\right)}^3=1}\end{array}$ mibe $y$-nak értékét (4)-ből helyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\frac{a^2+b^2}{a}\right)}^2{x}^2{\left(\frac{a^2-b^2}{a}\right)}^3{x}^3=1}\end{array}$ s így $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\frac{a}{\sqrt[5]{{\left(a^2+b^2\right)}^2{\left(a^2-b^2\right)}^3}}=\frac{a}{\sqrt[5]{{\left(a^4-b^4\right)}^2\left(a^2-b^2\right)}}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{b}{\sqrt[5]{{\left(a^4-b^4\right)}^2\left(a^2-b^2\right)}}}\end{array}$   (Szigeth Gábor, Kassa.)   A feladatot még megoldották: Devecis M., Frankl I., Friedmann B., Goldstein Zs., Goldziher K., Hofbauer E., Kántor N., Kármán T., Petrogalli G., Spitzer Ö.