Kezdőlap


Feladat:	338. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Dénes A. , Devecis M. , Friedmann Bernát , Goldstein Zs. , Goldziher K. , Hofbauer E. , Kántor N. , Krátky Gy. , Probst E. , Spitzer Ö. , Szabó I.
Füzet:	1897/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Térfogat, Csonkagúlák, Nevezetes azonosságok, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/március: 338. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A csonka gúlát oly síkkal szeljük, mely az alapra merőleges és az alap és fedőlap két-két párhuzamos élét felezi. E metszet párhuzamos élei: $A B = a, D C = b$ . a gúla alapjától számított $H G = x$ távolságban az alappal párhuzamosan fektetett sík az első metsző síkot $G F = x$ távolságban az alappal párhuzamosan fektetett sík az első metsző síkot $G F = y$ egyenesben metszi. A feladat értelmében:

\begin{matrix} \frac{x}{3} (a^{2} + a y + y^{2}) = \frac{m - x}{3} (y^{2} + y b + b^{2}) . \end{matrix}

(1)

Ha a

D

-ből az alapra bocsátott merőleges

G F

-et

K

-ban metszi, úgy az

A H G

és

G K D

háromszögek hasonlósága alapján:

\begin{matrix} x : m - x = A H : G K \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x : m - x = a - y : y - b \end{matrix}

(2)

(2)-t tekintetbe véve, (1)-ből lesz:

\begin{matrix} (a - y) (a^{2} + a y + y^{2}) = (y - b) (y^{2} + y b + b^{2}) \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} a^{3} - y^{3} = y^{3} - b^{3} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y = \sqrt[3]{\frac{a^{3} + b^{3}}{2}} . \end{matrix}

(3)

De (2) még így is írható:

\begin{matrix} x : m = a - y : b \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{m}{a - b} (a - y) \end{matrix}

mibe

y

-nak értékét (3)-ból helyettesítve:

\begin{matrix} x = \frac{m}{a - b} (a - \sqrt[3]{\frac{a^{3} + b^{3}}{2}}) . \end{matrix}

(Friedmann Bernát.)

A feladatot még megoldották: Dénes A., Goldstein Zs., Goldziher K., Hofbauer E., Kántor N., Krátky Gy., Probst E., Spitzer Ö., Szabó I.