Kezdőlap


Feladat:	336. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint B. , Beck F. , Dénes A. , Devecis M. , Fekete J. , Frankl Ignácz , Freibauer E. , Friedmann B. , Hofbauer E. , Kántor B. , Kántor N. , Kertész L. , Kornis Ö. , Laczkó E. , Misángyi V. , Orlowszky F. , Petrogalli G. , Prakatur T. , Roth M. , Schwartz E. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Szabó K. , Weisz Á. , Weisz J.
Füzet:	1897/június, 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Kör geometriája, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/március: 336. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a körök sugarai $R$ és $r$ ; a középpontok $O_{1}$ és $O_{2}$ ; a külső érintési pontok $F$ és $B$ ; a belső érintési pontok $E$ és $C$ ; a külső hasonlósági pont $A$ , a belső hasonlósági pont $D$ . $O_{1} E D$ és $O_{2} C D$ háromszögekből:

\begin{matrix} R = O_{1} D \cdot sin \frac{β}{2}, r = O_{2} D \cdot sin \frac{β}{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} R + r = (O_{1} D + O_{2} D) sin \frac{β}{2} = c sin \frac{β}{2} \end{matrix}

(1)

O_{1} F A

és

O_{2} B A

háromszögekből:

\begin{matrix} R = O_{1} D \cdot sin \frac{α}{2}, r = O_{2} A \cdot sin \frac{α}{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} R - r = (O_{1} A - O_{2} A) sin \frac{α}{2} = c sin \frac{α}{2} \end{matrix}

(2)

(1) és (2)-ből

\begin{matrix} R = \frac{c}{2} \end{matrix}

(sin

\frac{β}{2}

+sin

\frac{α}{2}

)=csin

\frac{β + α}{4}

cos

\frac{β - α}{4}

\begin{matrix} r= \frac{c}{2} ( \end{matrix}

sin

\frac{β}{2}

-sin

\frac{α}{2}

)=ccos

\frac{β + α}{4}

sin

\frac{β - α}{4}

Amegadottértékekethelyettesítve.

\begin{matrix} R=392,42 mm, r=170,99 mm. \end{matrix}

(Frankl Ignácz, Selmeczbánya.)

A feladatot még megoldották: Bálint B., Beck F., Dénes A., Devecis M., Fekete J., Freibauer E., Friedmann B., Hofbauer E., Kántor B., Kántor N., Kertész L., Kornis Ö., Laczkó E., Misángyi V., Orlowszky F., Petrogalli G., Prakatur T., Roth M., Schwartz E., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Weisz Á., Weisz J.