Kezdőlap


Feladat:	333. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó István
Füzet:	1897/június, 175 - 176. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Thalesz-kör, Háromszögek hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/március: 333. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $A B C$ háromszög $C$ csúcsából az átfogóra bocsátott magasság $m$ , továbbá a $c$ átfogóval párhuzamos érintő $D E = x$ , úgy az $A B C$ és $E D C$ hasonló háromszögekből:

\begin{matrix} c : x = m : m + \frac{c}{2} \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{2 m c + c^{2}}{2 m} . \end{matrix}

\begin{matrix} m c = a b \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} m = \frac{a b}{c} = \frac{a b}{\sqrt[]{a^{2} + b^{2}}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x = \frac{{(a + b)}^{2}}{2 a b} \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

Ha a megadott háromszög egyenlőszárú, tehát

a = b

, úgy:

\begin{matrix} s = 2 a \sqrt[]{2} . \end{matrix}

Ha pedig a befogókat ellenkező irányban hosszabbítjuk meg, úgy:

\begin{matrix} x = \frac{{(a - b)}^{2}}{2 a b} \sqrt[]{a^{2} + b^{2}} . \end{matrix}

(Szabó István, Debreczen.)

Megoldások száma: 33.