Feladat: 332. matematika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beck F. ,  Dénes A. ,  Devecis M. ,  Friedmann Bernát ,  Goldstein Zs. ,  Goldziher K. ,  Kármán T. ,  Kornis Ö. ,  Misángyi V. ,  Prakatur T. ,  Roth Miksa ,  Spitzer Ö. ,  Szabó I. ,  Szabó K. ,  Weisz Á. 
Füzet: 1897/június, 174 - 175. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kör egyenlete, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Szögfelező egyenes, Apollóniusz-kör, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1897/március: 332. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Legyen P oly pont, mely a feladat követelményeinek megfelel. Minthogy a PB egyenes az APC szöget felezi, mondhatjuk, hogy:

AP:CP=AB:BC.
A feladatot tehát még így is fogalmazhatjuk: Keressük azon háromszögek csúcsainak mértani helyét, melyeknek közös alapja AC, másik két oldaluk állandó aránya pedig AB:BC.
Legyen A a coordinata-rendszer kezdőpontja, továbbá: AB=p,BC=q;P pont coordinátái: AD=x,PD=y. Az ADP derékszögű háromszögből:
AP¯2=x2+y2(1)
CDP háromszögből:
CP¯2=(p+q-x)2+y2(2)
Osszuk (1)-et (2)-vel és vegyük figyelembe, hogy APCP=pq, úgy:
p2q2=x2+y2(p+q-x)2+y2(3)
mely egyenletből ered, hogy
x2-2p2xp-q+y2=-p2(p+q)p+q
(x-p2p-q)2+(y-0)2=(pqp-q)2.
Ez egyenlet mutatja, hogy a keresett mértani hely kör, melynek középpontja az AC egyenesen fekszik, sugara pedig +pqp-q. Keressük még meg a kör és AC egyenes metszéspontjainak abscissáit. Ha y=0, úgy x1=p(p+q)p-q és x2=p; látjuk, hogy a kör mindig keresztül megy a B ponton. Ha p=q, úgy p2p-q=∞, azaz a mértani hely egyenes és pedig az AC egyenes középpontjában emelt merőleges.
 
(Friedmann Bernát.)
 
II. Megoldás. Az AB és BC távolságok fölé megrajzoljuk az APC háromszöget, melynél AP:CP=AB:BC. Ezen háromszögnek P csúcsában, PB-re merőlegest emelünk, mely az AC egyenest F-ben metszi. A keresett mértani hely az F,P és B pontok által meghatározott kör.
Bizonyítás. PB szögfelező, mert AB és BC aránya egyenlő AP és CP arányával. Az oly pontok mértani helye pedig, melyeknek két ponttól (AésC) való távolságainak aránya egyenlő, azon kör, mely a B,F és P pontokon megy át. E kört Apollonius-féle körnek nevezzük. Az A,B,C és F pontok harmonikus pontok.
 
(Roth Miksa, főreáliskolai VI. o. t., Pécs.)
 
A feladatot még megoldották: Beck F., Dénes A., Devecis M., Goldstein Zs., Goldziher K. és Kármán T., Kornis Ö., Misángyi V., Prakatur T., Spitzer Ö., Szabó I., Szabó K., Weisz Á.