Kezdőlap


Feladat:	331. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beck F. , Dénes A. , Devecis M. , Friedmann Bernát , Goldstein K. , Hofbauer Ervin , Kármán T. , Kertész L. , Kornis Ö. , Manheim E. , Riesz F. , Spitzer Ö. , Szabó K. , Thiringer A.
Füzet:	1897/június, 165 - 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/március: 331. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás.

\begin{matrix} n^{6} - 3 n^{5} + 4 n^{4} - 3 n^{3} + 4 n^{2} - 3 n = \end{matrix}

\begin{matrix} = [n^{6} - 3 n^{5} + 5 n^{4} + 15 n^{3} + 4 n^{2} - 12 n] + [9 (n^{4} - 2 n^{3} + n)] . \end{matrix}

A második zárójelben álló kifejezés osztható

9

-czel; tehát csak azt kell kimutatnunk, hogy az első zárójelben álló kifejezés is osztható

9

-czel. De

n^{6} - 3 n^{5} + 5 n^{4} + 15 n^{3} + 4 n^{2} - 12 n = (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3)

s így e kifejezés a természetes számsor hat egymásra következő tagjának szorzata. E hat tag közül kettő a háromnak többszöröse s így a kifejezés csakugyan osztható

9

-czel.

(Friedmann Bernát.)

II. Megoldás. A megadott kifejezés a következő alakra hozható:

\begin{matrix} {(n^{3} + 2 n)}^{2} - 3 (n^{5} + n^{3} + n) \end{matrix}

\begin{matrix} n^{3} + 2 n = n (n + 1) (n - 1) + 3 n \end{matrix}

és

\begin{matrix} n^{5} + n^{3} + n = n (n + 1) (n - 1) (n^{2} + 2) + 3 n \end{matrix}

Mindkét kifejezés osztható

3

-mal s így az elsőnek négyzete és a másodiknak háromszorosa osztható

9

-czel.

(Hofbauer Ervin.)

A feladatot még megoldották: Beck F., Dénes A., Devecis M., Goldstein Zs., Kármán T., Kertész L., Kornis Ö., Manheim E., Riesz F., Spitzer Ö., Szabó K., Thiringer A.