Kezdőlap


Feladat:	323. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálint B. , Devecis M. , Freund A. , Friedmann Bernát , Geist E. , Goldstein K. , Goldziher K. , Grünhut Béla , Halász Gy. , Kántor N. , Kertész L. , Klein M. , Kornis Ö. , Orlowsky F. , Riesz F. , Spitzer Ö. , Szabó K.
Füzet:	1897/június, 162 - 163. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1897/február: 323. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két egyenlet így is írható:

\begin{matrix} x + y = \frac{9}{4} x y \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x^{3} + y^{3} = \frac{513}{16} x y \end{matrix}

(2)

Osszuk el a második egyenletet az elsővel:

\begin{matrix} x^{2} - x y + y^{2} = \frac{57}{4} \end{matrix}

(3)

emeljük az első egyenletet négyzetre:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x y + y^{2} = \frac{81}{16} x^{2} y^{2} \end{matrix}

(4)

(4)-ből (3)-at levonva, nyerjük:

\begin{matrix} \frac{81}{16} x^{2} y^{2} - 3 x y = \frac{57}{4} \end{matrix}

miből

x y

szorzatnak két értéke:

2

és

- \frac{38}{27}

; ezen értékek (1)-be téve

x + y

-nak két értéke

\frac{9}{2}

és

- \frac{19}{6}

;

x

és

y

tehát a következő egyenletek gyökei:

\begin{matrix} z^{2} - \frac{9}{2} z + 2 = 0, u^{2} + \frac{19}{6} u - \frac{38}{7} = 0 \end{matrix}

mely egyenletekből:

x_{1} = y'_{1} = 4, y_{1} = x_{1}' = \frac{1}{2};